伯努利不等式

伯努利不等式

伯努利不等式,又稱貝努利不等式,是分析不等式中最常見的一種不等式,由數學家伯努利提出。

基本介紹

  • 中文名:伯努利不等式
  • 外文名:Bernoulli inequality
  • 注意:注意前提、等號成立條件
  • 發明人:伯努利(Bernoulli)
  • 適用學科:高等數學
  • 又名:貝努利不等式
基本概念,證明,相關不等式,

基本概念

對實數x>-1,
時,有
成立;
時,有
成立。
可以看到等號成立若且唯若n = 0,1,或x = 0時。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
伯努利不等式的一般式為
(對於任意
都有
,即所有
同號且大於等於-1) 若且唯若n=1時等號成立

證明

設x>-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx。
證明:
先證明對所有正整數不等式成立。用數學歸納法
當n=1,上個式子成立,
設對n-1,有:
(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。
(1+x)^n
=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2
>=1+nx
就是對一切的自然數,當
x>=-1,有
(1+x)^n>=1+nx
下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式:
若r ≤0或r ≥ 1,有(1+x)^r ≥ 1 + rx
若0 ≤ r ≤ 1,有(1+x)^r ≤ 1 + rx
這個不等式可以直接通過微分進行證明,方法如下:
如果r=0,1,則結論是顯然的
如果r≠0,1,作輔助函式f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 則f'(x)=0 <==> x=0;
下面分情況討論:
1. 0 < r < 1,則對於x > 0,f'(x) < 0;對於 − 1 < x < 0,f'(x) > 0。嚴格遞增,因此f(x)在x = 0處取最大值0,故得(1+x)^r ≤ 1+rx。
2. r < 0或r > 1,則對於x > 0,f'(x) > 0;對於 − 1 < x < 0,f'(x) < 0。嚴格遞減,因此f(x)在x = 0處取最小值0,故得(1+x)^r ≥ 1+rx
證畢。

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下述不等式從另一邊估計
:對任意
,都有
我們知道
( x>0),因此這個不等式是平凡的。

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