井函式是地下水動力學中用於計算各類水井流量時出現的特殊函式，其數學形式為指數積分表達式。該函式由C.V.Theis於1935年首次提出，作為泰斯公式的核心組成部分，用於描述承壓含水層中非穩定井流的水頭降深分布規律。其定義為$W(u) = -Ei(-u) = \int_{u}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$，表征地下水壓力波隨時間和空間傳播的特性。在工程實踐中，井函式被廣泛套用於抽水試驗參數反演、含水層導水係數計算等領域，通過配線法和直線圖解法可確定水文地質參數。
基本介紹
- 提出時間：1935年
- 提出者：C.V.Theis
- 套用領域：水文地質計算
- 數學形式：指數積分
- 核心公式：泰斯公式
- 參數確定：配線法
定義與數學形式,物理意義解析,工程套用實例,參數確定方法,擴展套用領域,
定義與數學形式
井函式$W(u)$的數學表達式來源於承壓含水層非穩定流動方程的解析解推導。通過Hankel變換將偏微分方程轉化為常微分方程後，最終得到包含指數積分的泰斯公式解：
$$
s = \frac{Q}{4\pi T}W(u) \quad (u=\frac{r^2 S}{4Tt})
$$
其中$s$為水頭降深，$Q$為抽水量，$T$為導水係數，$S$為儲水係數，$r$為觀測井距離，$t$為抽水時間。該函式可展開為收斂級數：
$$
W(u) = -0.5772 - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot 2!} + \frac{u^3}{3\cdot 3!} - \cdots
$$
便於不同u值範圍的計算。
$$
s = \frac{Q}{4\pi T}W(u) \quad (u=\frac{r^2 S}{4Tt})
$$
其中$s$為水頭降深，$Q$為抽水量，$T$為導水係數，$S$為儲水係數，$r$為觀測井距離，$t$為抽水時間。該函式可展開為收斂級數：
$$
W(u) = -0.5772 - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot 2!} + \frac{u^3}{3\cdot 3!} - \cdots
$$
便於不同u值範圍的計算。
物理意義解析
井函式表征抽水引起的地下水壓力波傳播過程：
- 當u≤0.01時，$W(u)≈-0.5772-\ln u$，對應Theis公式的近似解
- u值增大反映觀測點距離抽水井越遠或抽水時間越短
- 函式值隨u值減小而增大，表明降深隨抽水時間延長而增加對於潛水井，Dupuit公式通過引入線性化假設得到類似形式：
$$
Q = \pi K \frac{h_0^2 - h_w^2}{\ln(R/r_w)}
$$
其中K為滲透係數，h為潛水層厚度。
工程套用實例
在抽水試驗中，井函式主要套用於：
- 含水層參數反演：通過配線法將實測s-t曲線與標準W(u)-1/u曲線匹配，確定T和S值
- 水位預測：計算不同抽水量條件下地下水位的時空變化
- 越流系統分析：修正井函式表達式以考慮相鄰弱透水層的越流補給
例如當r=100m、t=24小時時，可通過井函式計算得s=2.3m。
參數確定方法
- 配線法：將實測數據繪製在雙對數坐標紙上，與標準井函式曲線進行圖形匹配確定參數
- 直線圖解法：當u時，利用Jacob近似公式的半對數直線關係求參
- 數值反演：採用最小二乘法等最佳化算法進行參數自動識別
這些方法在工程實踐中被證實具有較高的可靠性，最大相對誤差不超過10%。
擴展套用領域
- 非完整井計算：修正井函式表達式以考慮濾水管長度的影響
- 各向異性含水層：引入等效滲透係數改進計算公式
- 群井幹擾分析：疊加多個井函式的解進行模擬
最新研究表明，將井函式與數值模擬耦合可提高複雜邊界條件下的計算精度。
