一維無限深勢阱是粒子在一維運動中空間的一種特殊勢場。
假設粒子所處勢場不隨時間改變，當粒子所處勢場在空間中某一區域為0，在其餘區域為無窮大時，粒子的運動會被束縛在該區域內，如同掉入一個深度無限大的井內無法爬上來。粒子在阱內的運動及分布情況需要套用量子力學的定態薛丁格方程求解。
基本介紹
- 中文名：一維無限深勢阱
- 外文名：one-dimensional infinite square potential well
- 表達式：Ψ(x)=√(2/a)·sin(nπx/a) (0<x<a)
- 套用學科：量子力學
- 適用領域範圍：粒子運動及分布
- 適用領域範圍：量子力學基礎
- 相關基礎知識：定態薛定諤方程
定義,實際模型,波函式,
定義
如果粒子受某種作用的限制，因而在空間某區域內發現該粒子的機率遠大於其他區域，則此區域常可看做一個勢阱（例：電子在金屬固體中運動；質子、中子被束縛在原子核中。）。為簡化問題的討論，往往假定粒子在外力場中的勢函式為
該理想化模型稱作一維無限深勢阱。
實際模型
在金屬中的自由電子不會自發地逃出金屬，它們在各晶格結點（正離子）形成的“周期場”中運動。進一步簡化這個模型，可以粗略地認為粒子被“無限高”的勢能壁束縛在金屬之中，由此而抽象出粒子在無限深勢阱中運動。為簡單起見，設勢阱是一維的，這是量子力學中最簡單的例子。自由電子在一塊金屬中的運動相當於在勢阱中的運動。在阱內，由於勢能為零，粒子受到的總的力為零，其運動是自由的。在邊界上x=0或x=a處，由於勢能突然增加到無限大，粒子受到無限大指向阱內的力。因此，粒子的位置不可能到達0<x<a的範圍以外。
波函式
設粒子有效質量為
，粒子運動的波函式為
。
在阱內（0<x<a），體系的定態薛丁格方程為
在阱外（x>a,x<0），體系的定態薛丁格方程為
②
由於阱外
，阱外波函式
。
由波函式的統計詮釋可知，在x=0和x=a兩點波函式連續，因此要求阱內波函式滿足
φ(0)=0, φ(a)=0 ③
①式中，令
，方程的解具有以下形式
將③代入④，得B=0，Asinka=0。由於A=0時φ=0，波函式無意義，因此sinka=0，解出
ka=nπ，將該結果代入④以及
，可得出粒子能級以及波函式。
將波函式歸一化，
，因此
，波函式
