五邊形數定理

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函式展開式的特性。

基本介紹

• 中文名：五邊形數定理
• 分類：數論、數學定理
• 領域：數理科學

定理內容

歐拉函式的展開式如下：

即

歐拉函式展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。若將上式視為冪級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

和分割函式的關係

歐拉函式的倒數是分割函式的母函式，亦即：

其中 為k的分割函式。上式配合五邊形數定理，可以得到：

考慮 項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得：

因此可得到分割函式p(n)的遞歸式

以n=10為例