二元線性方程組

二元線性方程組，別名叫“二元一次方程組”，是指由兩個方程兩個未知量構成的線性方程組。二元線性方程組實質上就是二元一次方程組。因為二元一次方程的圖象是一條直線，所以有時就將二元一次方程稱之為線性方程，將二元一次方程組稱之為線性方程組。

基本介紹

• 中文名：二元線性方程組
• 外文名：Two element linear equations
• 類型：數學方程
• 實質：二元一次方程組
• 又稱：線性方程
• 學科：數學

定義

二元線性方程組實質上就是二元一次方程組。因為二元一次方程的圖象是一條直線，所以有時就將二元一次方程稱之為線性方程，將二元一次方程組稱之為線性方程組。

線性方程組的一般形式為：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0.

性質

方程組

（1）二元一次方程組：由兩個二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.

（2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

對二元一次方程組的理解應注意：

①方程組各方程中，相同的字母必須代表同一數量，否則不能將兩個方程合在一起.

②怎樣檢驗一組數值是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法如下：將這組數值分別代入方程組中的每個方程，只有當這組數值滿足其中的所有方程時，才能說這組數值是此方程組的解，否則，如果這組數值不滿足其中任一個方程，那么它就不是此方程組的解。

概念

方程兩邊都是整式，含有兩個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做二元一次方程。

你能區分這些方程嗎？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；2y+y=2(一元一次方程）；2x-y=9（二元一次方程）。

對二元一次方程概念的理解應注意以下幾點：

①等號兩邊的代數式是否是整式；

②在方程中“元”是指未知數，二元是指方程中含有兩個未知數；

③未知數的項的次數都是1，實際上是指方程中最高次項的次數為1，在此可與多項式的次數進行比較理解，切不可理解為兩個未知數的次數都是1。

（2）二元一次方程的解

使二元一次方程兩邊相等的一組未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。

對二元一次方程的解的理解應注意以下幾點：

①一般地，一個二元一次方程的解有無數個，且每一個解都是指一對數值，而不是指單獨的一個未知數的值；

②二元一次方程的一個解是指使方程左右兩邊相等的一對未知數的值；反過來，如果一組數值能使二元一次方程左右兩邊相等，那么這一組數值就是方程的解；

③在求二元一次方程的解時，通常的做法是用一個未知數把另一個未知數表示出來，然後給定這個未知數一個值，相應地得到另一個未知數的值，這樣可求得二元一次方程的一個解。

套用

消元法

“消元”是解二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數的個數，使多元方程最終轉化為一元方程再解出未知數。這種將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,變為5x+6y=7 4x+6y=8。

消元法包括代入消元法；加減消元法；順序消元法。

例子

x-y=3 ①

3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3（y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

則：這個二元一次方程組的解

x=4

y=1

其他方法

(一)加減-代入混合使用的方法。

例1.13x+14y=41 (1)

14x+13y=40 (2)

解:(2)-(1)得

x-y=-1

x=y-1 (3)

把(3)代入(1)得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入(3)得

x=1

所以:x=1，y=2

最後 x=1 ， y=2， 解出來

特點：兩方程相加減，得到單個x或單個y，適用接下來的代入消元。

(二)代入法

是二元一次方程的另一種方法，就是說把一個方程帶入另一個方程中。

如：

x+y=590

y+20=90%x

帶入後就是：

x+90%x-20=590

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m，y-4=n

原方程可寫為

m+n=8

m-n=4

解得m=6，n=2

所以x+5=6，y-4=2

所以x=1，y=6

特點：兩方程中都含有相同的代數式（x+5，y-4），換元後可簡化方程。

（三）另類換元

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t，y=4t

方程2可寫為：5t+24t=29

29t=29

t=1

所以x=1，y=4。

換元法

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯繫起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯繫起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函式、數列、三角等問題中有廣泛的套用。

比如(x+y)/2-(x-y)/3=6

3(x+y)=4(x-y)

解：設x+y為a,x-y為b

原=a/2-b/3=6①

3a=4b②

①×6 得3a-2b=36③

把②代入③ 得2b=36 b=18

把b=18代入②得a=24

所以x+y=24④

x-y=18⑤

④-⑤得 2y=6 y=3

把y=3代入④得 x=21

x=21

是方程組的解

y=3

整體代入

比如2x+5y=15①

85-7y=2x②

解：把②代入①得

85-7y+5y=15

-2y=-70

y=35

把y=35代入②得

x=-80

x=-80

是方程組的解

y=35