乘子

乘子(multiplier)亦稱乘數,是一類特殊的自同構。設D為G的一個(v,k,λ)差集,G的運算以加法記,α為G的一個自同構。若存在a,b∈G,使Dα=a+D+b,則稱α為D的乘子。當α為零元時,稱α為右乘子;當G為阿貝爾群時,若存在整數m,使α為映射x→mx,則稱α為一個數值乘子,有時也稱m為數值乘子。

基本介紹

  • 中文名:乘子
  • 外文名:multiplier
  • 別名:乘數
  • 本質:特殊的自同構
  • 分類:右乘子,數值乘子等
  • 領域:數學
定義,舉例,乘子定理,

定義

乘子(multiplier)亦稱乘數,是一類特殊的自同構。設D為G的一個(v,k,λ)差集,G的運算以加法記,α為G的一個自同構。若存在a,b∈G,使Dα=a+D+b,則稱α為D的乘子。當α為零元時,稱α為右乘子;當G為阿貝爾群時,若存在整數m,使α為映射x→mx,則稱α為一個數值乘子,有時也稱m為數值乘子。
註:1.D的所有乘子成為一個,而所有右乘子為這個群的子群
2.當G是阿貝爾群時,所有的乘子為右乘子;當G是循環群時,所有的乘子為數值乘子
3.當D為阿貝爾差集時,D的一個乘子必固定D的某個平移。利用這個性質及乘子定理(見下文)可以構造某些差集及證明某些差集的不存在性。

舉例

例如,{1,3,9,5,4}是Z11中的(11,5,2)差集,m=3是它的一個數值乘子。

乘子定理

乘子定理(multiplier theorem)是用來判別差集乘子存在性的定理。乘子定理有多種形式,以下的乘子定理也稱為第二乘子定理。
第二乘子定理 設D是v階阿貝爾群G的(v,k,λ)差集,m是n=k-λ的一個與v互素的因子,且m>λ。若整數t與v互素,使得對m的每個素因子p存在相應的非負整數f,適合t≡pf(mod v*),其中v*為G的指數,即使xe=1對G中一切x成立的最小正整數e,則G的自同構x→xt是D的數值乘子。
該定理由曼 (Mann,H.B.)於1965年得到。當G為循環群且λ=1時的較早形式由霍爾(Hall M.Jr.)得到。由於阿貝爾差集D的乘子必固定D的某個平移,所以,可由乘子定理做出一些差集或證明某些參數的差集不存在。例如,可做(11,5,2)循環差集如下:設這樣的差集存在,則3是D的一個數值乘子,不妨設3固定D,則D必為循環群Z11的元素在自同構x→3x作用下的某些軌道的並,而Z11的元素軌道為{0},{1,3,9,5,4}及{2,6,7,10,8}。於是,兩個軌道均是Z11中的(11,5,2)差集。又例如,若存在循環(31,10,3)差集D,則7應是D的乘子,不妨設7固定D。但是,在自同構x→7x作用下Z31分成3個元素軌道,長度分別為1,15及15,這說明D不存在。
在第二乘子定理中取m為素數p。可得到定理的特例(稱為第一乘子定理):
第一乘子定理 設D是一個(v,k,λ)阿貝爾差集,p為素數,p|n,p|v不成立,若p>λ,則p是D的一個乘子。
這個定理的證明依賴於條件p>λ,但事實上對每一個已知的阿貝爾差集,只要素數p是n的因子且不整除v,則一定是差集的乘子。因此,人們猜想第一乘子定理中去掉條件p>λ後結論仍成立。這個猜想稱為乘子猜想
乘子定理說明,n的因數是乘子的重要來源。但這並不是唯一的來源。例如,11是(21,5,1)循環差集D={3,6,7,12,14}的數值乘子,而11並不是n=4的因子。當一個數值乘子不是n的因子時,稱為額外乘子。已知某些數不可能成為差集的額外乘子。例如,2不可能是阿貝爾差集的額外乘子,v-1不可能是任何(v,k,λ)循環差集的額外乘子。

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