三點形(triangle of three points)是射影平面上的基本圖形，指平面上不共線的三點及其每兩點的連線所組成的圖形，三個點稱為三點形的頂點，三條直線稱為三點形的邊。
基本介紹
- 中文名：三點形
- 外文名：triangle of three points
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(射影幾何)
- 簡介：射影平面上的基本圖形
基本概念,相關概念,
基本概念
除了以上基本的平面形以外，還有許多平面形，不勝枚舉，比如下面所說的三點形和三線形。
三點形——三個不共線的點以及其中每兩點連結而成的三條直線的集合，稱為三點形，這三個點稱為三點形的頂點，連結它們的直線稱為三點形的邊。
三線形——三條不共點的直線以及其中每兩條直線的三個交點的集合，稱為三線形。
相關概念
平面射影幾何的對偶原理
點與直線是射影平面上的基本元素，平面射影幾何主要研究點與直線以及它們的相互關係，統稱為結合關係。在一個僅涉及點與直線以及它們的結合關係的命題中，把點改成直線，直線改成點，結合關係也作相應的改變。例如，兩點連線中點改成直線，直線改成點得到：兩直線交點；又例如，三點共線改成三直線共點，這樣改變以後得到一個新的射影幾何命題，稱為原命題的對偶命題，下面是一些互為對偶的命題：
(1)兩點決定一直線，即過兩不同點有且只有一條直線。
(1)'兩直線有且只有一個交點。
(2)由不共線的三點及它們的兩兩連線構成的圖形叫三點形。
(2)'由不交於一點的三直線及它們的兩兩交點構成的圖形叫三線形。
(3)射影坐標下，三點A，B，C共線的充要條件是
。
(3)'射影坐標下，三直線
共點的充要條件是
。
(4)如果兩個三點形的對應頂點連線交於一點，則它們的對應邊交點共線。
(4)'如果兩個三線形的對應邊交點共線，則它們的對應頂點連線共點。
(5)四點中總有三點共線(不成立)。
(5)'四直線中總有三直線共點(不成立)。
從上面可以看出，如果一個射影幾何的關於點，直線以及它們的結合關係的命題是真實的，它的對偶命題也是真實的，對偶命題是相互的，即如果命題B是A的對偶命題，那么A也是B的對偶命題。上述對偶命題中(4)是Desargues定理，而(4)'實際上是它的逆定理。
在射影幾何的對偶中，點與直線是最基本的對偶元素，“點在直線上”與“直線過點”是最基本的對偶關係。
對偶原理在平面射影幾何里，如果一個關於點和直線的結合關係的命題成立，則它的對偶命題也成立。
射影幾何可以用公理法來定義並討論，對偶原理也可用公理法證明。一種射影映射——對射，它把點變成直線，直線變成點，而點與直線的結合關係仍能保持，利用對射可以證明對偶原理，在射影坐標下，計算兩點連線與兩直線交點的方法、判斷三點共線與三線共點的方法都是一樣的，只要把點與直線的坐標互換。
