三角形重心

三角形重心

三角形重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時,重心與形心重合。

基本介紹

  • 中文名:三角形重心
  • 外文名:centroid
  • 定義:三角形三條中線的交點
  • 性質比例:重心到頂點與到對邊中點比為2:1
  • 套用領域:幾何
重心定義,性質證明,順口溜,向量關係,

重心定義

三角形重心是三角形三邊每一邊的三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時,重心與該形中心重合。

性質證明

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。
證明一證明一
例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中點。EC、FB交於G。
求證:EG=1/2CG
證明:過E作EH∥BF交AC於H。
∵AE=BE,EH//BF
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
方法二 連線EF
利用三角形相似
求證:EG=1/2CG 即證明EF=1/2BC
利用中位線可證明EF=1/2BC
即EG=1/2CG
證明二證明二
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
在△ABC內,三邊為a,b,c,點O是該三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知:
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
過O,A分別作a邊上高OH',AH
可知OH'=1/3AH
則,S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可證S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以,S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形
證法一:
設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為(x0,y0) 則該點到三頂點距離平方和為:
(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2
=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐標)時
上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
最終得出結論。
證法二:由性質8(卡諾重心定理)可得出結論。
4、在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標算術平均數
即其坐標為[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3];
空間直角坐標系——X坐標:(X1+X2+X3)/3,Y坐標:(Y1+Y2+Y3)/3,Z坐標:(Z1+Z2+Z3)/3.
5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
三角形重心
證明:如圖所示,點P是△ABC內的一點,連線PA,PB,PC,作點P到BC、AC、AB的垂線段,垂足分別為D、E、F,延長AP交BC於M。記△ABC的面積為S,BC為a,AC為b,AB為c,PD為a',PE為b',PF為c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
均值不等式知,[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c'),若且唯若aa'=bb'=cc'時等號成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc),若且唯若aa'=bb'=cc'時等號成立。
∴a'b'c'只有當aa'=bb'=cc'時才會取得最大值。
此時,S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP,由燕尾定理知,BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此時BM=CM,M是BC的中點,AM是△ABC的中線,P在△ABC中BC邊的中線上。
同理可證此時P在△ABC中AB、AC邊的中線上。
∴當a'b'c'最大時,P是△ABC的重心,即重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,則M點為△ABC的重心,反之也成立。
7、設△ABC重心為G點,所在平面有一點O,則向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)
8、卡諾重心定理:若G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點,則PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
證明:GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
延長射線AG,交BC於D,繼續延長,使得GD = DE = AG/2.
連線EB,EC,
四邊形GBEC為平行四邊形.
EB = GC
延長射線PG,
過點B作PG的延長線的垂線,垂足為F.
過點E作PG的延長線的垂線,垂足為H.
BE與PG的延長線的交點為點Q.
則,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF
GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)
HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)

GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),
因此,
GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2
= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
= PA^2 + PB^2 + PC^2
利用上面的結論,
令P與A重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2
= AB^2 + AC^2 ...(1)
令P與B重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2
= AB^2 + BC^2 ...(2)
令P與C重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2
= BC^2 + AC^2 ...(3)
(1),(2),(3)相加,有
3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],
GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.
得證.

順口溜

三條中線必相交,交點命名為重心
重心分割中線段,線段之比二比一;

向量關係

三角形重心
O是重心,向量OA+向量OB+向量OC=零向量。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們