數項級數的收斂性問題是數學分析中研究的基本內容之一。數項級數主要分為正項級數和一般項級數,一般項級數的收斂性判別問題要比正項級數複雜。在此,我們只討論某些特殊類型的級數的收斂性問題,比如交錯級數,絕對收斂級數,條件收斂級數。
基本介紹
- 中文名:一般項級數
- 外文名:general term series
- 學科:數學
- 領域範圍:數學分析
- 屬性:數項級數
交錯級數,定理1(萊布尼茨判別法),推論1,絕對收斂級數及其性質,定理2,例1,阿貝爾判別法和狄利克雷判別法,定理3(阿貝爾判別法),定理4(狄利克雷判別法),
交錯級數
若級數的各項符號正負相間,即
![](/img/d/ffd/wZ2NnL5QWY4QWMkNDN0ImM2YDOhFTOmJjY3cTZhFjN0MzMwIzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
對於交錯級數,有下面常用的判別法。
定理1(萊布尼茨判別法)
若交錯級數(1)滿足下述兩個條件:
(i)數列
單調遞減;
![](/img/b/f97/wZ2NnLzUDMkZmN0EDN4IDO5ATO2MTMwcTN0YGZwMjNiZWYkRzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
(ii)![](/img/6/5a5/wZ2NnL4czYwYWYldTOyQWMiBTYyIWOwQTZ5QmYxImMwQmNlNzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/6/5a5/wZ2NnL4czYwYWYldTOyQWMiBTYyIWOwQTZ5QmYxImMwQmNlNzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
則級數(1)收斂。
推論1
若級數(1)滿足萊布尼茨判別法的條件,則收斂級數(1)的餘項估計式為
![](/img/8/2d4/wZ2NnLwcDOjJzYwQDZ3ITZmlDZzY2M2gTYwMTM5MTZxIDZ5kzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/3/adc/wZ2NnLihDZidTZzETZiJDMzUWY2cTYxATZlVzMjR2Y5MmZwgzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/5/cf4/wZ2NnLkN2NiFDZiBzYwMjY0UDOjF2M5YmNxcDO0kjZwcjNjVzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/b/bb0/wZ2NnL4QGOkNWYkhDMiRzMkBDOlZzYyIjZ4ITO3YTN5UGN5kzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
絕對收斂級數及其性質
若級數
![](/img/8/afd/wZ2NnLxIzM1QjNiN2YwczM4UjMlZWZ4gDM4EWMjlDOiJGZjFzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/1/e60/wZ2NnLhZ2YwEWOjR2YlJmYhhTYklDMhRWN5EjZjNGZkFGNmN2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
定理2
絕對收斂級數一定收斂。
例1
級數
![](/img/7/f17/wZ2NnLxAzN2ADMyEGOzATM3YjNzcTM0MWOhVGO1QWMlNjY1kzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/2/1a0/wZ2NnL4QjMhhDNhhDZygzY4gjZwMmMzMjZyEzMhdDZ0EDZ3UzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/b/656/wZ2NnLhFWYykTN0UWZhdDZwQGZwUTM1E2NxEjNkN2NwUWOxIzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/e/4a1/wZ2NnLmhDNwYGN5QWN2QDZ1U2MwUmY4UWYkRGZwEjMjVWY4YzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/b/656/wZ2NnLhFWYykTN0UWZhdDZwQGZwUTM1E2NxEjNkN2NwUWOxIzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
若級數(5)收斂,但級數(6)不收斂,則稱級數(5)為條件收斂級數。
例如級數(2)是條件收斂,而級數(3)、(4)則是絕對收斂。
全體收斂的級數可分為絕對收斂級數與條件收斂級數兩大類。
阿貝爾判別法和狄利克雷判別法
下面討論級數
![](/img/b/488/wZ2NnL0EzYlNzY5QjZ1gzMldjMlhjZ3kjMldjN4IDOiFWOlF2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
定理3(阿貝爾判別法)
若
為單調有界數列,且級數
收斂,則級數(7)收斂。
![](/img/3/b3b/wZ2NnL3YWZzITN4I2NwAjY0E2NzAzY5UGMkBDNkZzYxUmMlhzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/673/wZ2NnLmZGZjVjMhFGZxIWY0I2NxY2MmR2MxEmY5ADNwUWMlF2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
定理4(狄利克雷判別法)
若數列
單調遞減,且
,又級數
的部分和數列有界,則級數(7)收斂。
![](/img/3/b3b/wZ2NnL3YWZzITN4I2NwAjY0E2NzAzY5UGMkBDNkZzYxUmMlhzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/2/b7b/wZ2NnL3YDZ4kDZ3AjM2QjNiNDNxUjNkBTOiRmZhJzN5gzY2MzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/673/wZ2NnLmZGZjVjMhFGZxIWY0I2NxY2MmR2MxEmY5ADNwUWMlF2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)