海涅－康托爾定理

海涅-康托爾定理，以愛德華·海涅和喬治·康托爾命名，說明如果M是一個緊度量空間，則每一個連續函式都是一致連續的。

基本介紹

• 中文名：海涅－康托爾定理
• 外文名：Heine–Cantor theorem
• 分類：度量幾何、連續映射
• 領域：數理科學

定義

M是一個緊度量空間，則每一個連續函式

f:M→N

其中N是度量空間，都是一致連續的。

例如，如果f : [a,b] → R是一個連續函式，則它是一致連續的。

證明

假設f在緊度量空間M上連續，但不一致連續，則以下命題

，使得對於所有M內的x和y，都有

的否定是：

，使得，使得且。

其中d和 分別是度量空間M和N上的距離函式。

選擇兩個序列x_n和y_n，使得：

且

由於度量空間是緊緻的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，存在兩個收斂的子序列（收斂於x₀，收斂於y0），因此：

但由於f是連續的，且和收斂於相同的點，因此這是不可能的。