康托定理

若函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，則它在[a,b]上一致連續。換言之，在閉區間上連續的函式在該閉區間一致連續。

基本介紹

• 中文名：康托定理
• 別稱：一致連續定理
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學

歷史上比較著名的康托(Cantor)定理，大致有下列三個:

康托定理1：閉區間上的連續實函式是一致連續的。

康托定理2：一個集合本身的勢嚴格小於其冪集的勢。

康托定理3：如果一個全序集是可列集，且是稠密的，無最大和最小值的，則它一定和有理數集序同構。

定理

若函式在閉區間上連續，則它在上一致連續。

設函式在區間上定義，則在上一致連續的充分必要條件是：對任何點列和，只要滿足，就成立。

函式在有限開區間連續，則在上一致連續的充分必要條件是與存在。

證明

採用反證法。

假設在上非一致連續，由非一致連續定義可知存在及兩點列和，，滿足

，且 。

因為有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收斂子列：

在點列中取子列，其下標與下標相同，則由，又得到

由於函式在點連續，因而有

於是得到：

但這與假設產生矛盾，從而推翻假設，得到在上的一致連續的結論。

開區間上連續但非一致連續的例子

例：在上連續，但非一致連續。

證：對於任意給定的，，我們通過精確地解出，來說明不存在適用於整個區間的。

對任意，關係式 即為

它等價於

即

由此得到

顯然，這就是。

但是當時，，換言之，不存在對區間中一切點都適用的，因此在上非一致連續。