Π-定理

Π-定理，即量綱分析基本原理，是量綱分析法的理論基礎。這個定理由Backingham在1914年提出。到了1922年，R.W.Bridgman把這個定理稱為Π定理， 這是因為π這個符號是由Buckingham在定理的推導和證明中用來表示無量綱量的緣故。關於量綱的套用，除了一般的介紹單位的換算、檢查公式的對錯等少數方面，但量綱分析法有是量綱分析的理論核心。

中文名稱	Π-定理
英文名稱	Πtheorem
定　　義	任何一個由n個有量綱的物理量參與的物理過程中的函式關係都可以轉換成由n-k個這些物理量組成的無量綱量Πi之間的函式關係，其中k是具有獨立量綱的物理量的數。由於這些無量綱量是以不同的Πi數來表示的，故稱為Π定理。
套用學科	航空科技（一級學科），飛行原理（二級學科）

基本介紹

• 中文名：Π定理
• 外文名：Buckingham Theorem 
• 提出者：E.Buckingham 
• 提出時間：1914
• 套用學科：物理
• 適用領域範圍：理論物理、物理學等

定理內容

量綱

由於各物理量之間存在規律性的聯繫，我們不必對每個物理量的單位都獨立地予以規定。我們可以選取一些物理量作為“基本量”，並且為每個基本量規定一個“基本量度單位”，其他物理量的量度單位則可以按照它們與基本量之間的關係式（定義或定律）導出，這些物理量稱為“導出量”，它們的單位稱為“導出單位”。按照此種方法構成的一套單位，構成一定的“單位制”。在不同的單位制中，不僅基本量的選取可以不同，基本量的數目也可以不同。例如，CGS單位制中有三個基本量，MKSA單位制中有四個基本量。

在選定了單位制之後，導出量的量度單位就可以由基本量度單位表達出來，這種表達式稱為該導出量的“量綱式”，設 是所選單位制中的 個基本單位，用 代表導出量 的量綱式，則

指數 稱為物理量 的“量綱”。

量綱可以看成是某個“矢量空間”中的“矢量”。於是，對 式兩端取對數，則有

這裡，若我們把 看作 維空間的“正交基矢”，則 就是“矢量” 在基矢上的投影，或者稱作“分量”。自然地約定，量綱式可以寫作：

所謂幾個物理量的量綱彼此獨立，是指無法用他們的冪次乘積組成無量綱的常數。用矢量的語言表達，就是代表量綱的矢量彼此線性無關。在 維空間內最多有 個彼此線性無關的矢量。

個矢量 線性無關的條件是由他們組成的行列式不等於零：

Π定理

量綱分析法的理論基礎是Π-定理，這個定理是E.Buckingham在1914年提出的：

設某個物理問題涉及 個物理量（包括物理常量） ，而我們選取的單位制中有 個基本量 ，則由此可組成 個無量綱的量 。在物理量 之間存在函式關係式

可相應表達為無量綱形式：

（在m= 的情況下有兩種可能：若 的量綱彼此獨立，則不能由他們組成無量綱的量；若不獨立，則還可能組成無量綱的量。）

證明

設 個物理量的量綱為

其中最多只能有 個是線性無關的。我們假定它們是其中的前 個，則其餘 個物理量中的任何一個都可表示為它們的線性組合，也就是

寫成分量形式，用矩陣表示，則有：

由於等式左端方陣的行列式不等於零，故對每個 有一組解 ，共 組，這就是說，我們有

或者說

是一些無量綱的量，這樣無量綱量共有 個。

我們構想把 的量度單位分別改變為原來的 ，則在這個單位制下這些量的數值 與原來的數值 有如下關係：

量綱關係式 表明，物理量 在新舊單位制之間的數值關係為

取 ，由 和 式有

函式式 不應該受度量單位變化的影響，亦即我們有：

對於上述的特殊選擇，有

這就是 式，證畢.▏

等價形式

Π定理可以表示為另一等價形式，這一形式在很多場合更便於使用。在一定問題中物體系的發展和演化往往由若干個變數決定，不妨叫做“主定參量”在上面的推演中， 實際上起著一組新基矢的作用，我們盡可以選為代表主定參量的量綱矢量。如果在其他的物理量中我們感興趣的是其中的某一個，譬如 ，則我們可以從 式中把 解出來：

因 ，並將 解出，於是有

這便是Π定理的另一種表述形式。

套用

Π-定理有許多套用，給出兩個例子。

量子漲落

構想兩塊無限大平面壁相距 ，皆由理想導體構成。從經典理論看，兩壁之間應該沒有作用力。，但若計及（相對論性）電磁場的量子真空漲落效應，求兩壁單位面積上的作用力 也即壓強和距離的函式關係。

利用Π-定理解答是。除了距離 外，這裡涉及電磁場，有關的參量為真空中的光速 ；還涉及到量子效應，有關的參量還有普朗克常數 ，從量綱表

可以解出 ，即

也就是說， 反比於 的四次方。解答很簡單，揭示的思想和聯繫卻很深刻。

勾股定理

這個著名的定理，又稱畢達哥拉斯定理，也可以用量綱法來證明。

一個直角三角形的面積可由它的一邊（譬如斜邊 ）和一個銳角（譬如 ）決定。 是無量綱的，根據定理的等價形式，可以寫出：

作 邊的垂線將三角形分成兩個與原來相似的小直角三角形，它們各有一個是 的角，所以它們的面積應該分別是

又因為 ,所以

也就是

這便是勾股定理。