定義
為了給出自然數的嚴格定義,
皮亞諾採用
序數理論提出自然數的5條
公理,被稱為皮亞諾公理。這五條公理用非形式化的方法敘述如下:
1是自然數;
每一個確定的自然數n都有一個確定的後繼者,記作n+1。n+1也是自然數;
如果m、n都是自然數,並且m+1 = n+1,那么m = n;
1不是任何自然數的後繼者;
如果某個集合S具有性質:
那么
S=
N。(公理5保證了
數學歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理)
若將0也視作自然數,則第一條公理中的1要換成0,並且刪除第4條。
第五條是
歸納公理,它確保了在自然數集中數學歸納法的成立,也是對自然數集形態的一種限定。因為即使是有限集,也存在環形映射滿足第二條(自單射)。而只有自然數集才能滿足所有這五條的限定。
戴德金-皮亞諾結構
一個
戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的
三元組(
X,
x,
f):
x不在
f的
值域內。(對應上面"定義"一節的公理4)
若A為X的子集並滿足:
x屬於A;
若a屬於A,則f(a)亦屬於A
則A=X。
集合論形式的構造 一個標準的構造方法如下:
然後對於任何集合a,設
。S(a)稱為a的後繼,S相當於後繼函式。
根據
無窮性公理,自然數集存在。考慮所有包含0且在S之下封閉的集合,然後取它們的
交集就得到了自然數集。可以驗證這些集合是符合皮亞諾公理的。
如此,每個自然數都等同於由所有更小的自然數所組成的
集合,即
在此定義下,在集合
n內就有
n個元素;而若
n小於
m,則
n會是
m的
子集。
符號
為了明確的表示不包含0,正整數集合一般如下表示:
而非負整數集合一般如下表示:
集合論者也通常把包括0的自然數集記作
希臘字母的ω(小寫的
歐米伽),因為第一個無窮序數便是ω。
分類
奇偶性
1、奇數:不能被2整除的數叫奇數。
2、偶數:能被2整除的數叫偶數。
也就是說,一個自然數要么是奇數,要么就是偶數。
註:0是偶數。
因數個數
1、質數:只有1和它本身這兩個
因數的自然數叫做質數。也稱作素數。
2、合數:除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。
3、1:只有1個因數,就是它自身。它既不是質數也不是合數。
4、0和1一樣,既不是質數也不是合數。
性質
運算
對自然數可以
遞歸定義
加法和
乘法。其中,加法運算“+”定義為:
a + 0 = a;
a + S(x) = S(a+x), 其中,S(x)表示x的後繼者。
如果我們將S(0)定義為符號“1”,那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b),即,“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。
如此,便可得出交換
么半群(
N,+),是由1生出的自由么半群,其中
麼元為0。此么半群服從消去律,可嵌入一
群內:最小的是整數群。
同理,乘法運算“×”定義為:
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
(N,×)亦是交換么半群;
自然數的
減法和
除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。
帶餘除法
對於兩個自然數a,b,不一定有自然數c使得
。所以若用乘法的逆來定義除法,這個除法不能成為一個
二元運算(即不符合
封閉性,即使不允許除以0)。但我們可以用
帶餘除法作為替代。
現設a,b為自然數,
,則有自然數q和r使得a=bq+r且r<b。這裡的q稱為a除以b的
商,r稱為a除以b的
餘數。
數對(q,r)是被a,b所唯一決定的。
一個例子是
,也就是
。這裡a=62,b=7,q=8,r=6。
序
我們說
若且唯若有自然數使得
。當
而a不等於b時,記作a<b。
完全性:對於任意兩個自然數a,b,有且只有下列兩種關係之一:
或
。
(或者等價的三分性:a<b,a=b,或a>b)
事實上,
是一個
良序集,即每個非空
子集都有一個最小的自然數。此亦是最小數原理的陳述。
此序也和加法及乘法兼容,即若a,b,c都是自然數且
,則
及
。
無限性
自然數集是一個無窮集合,自然數列可以無止境地寫下去。
對於無限集合來說,“元素個數”的概念已經不適用,用數個數的方法比較集合元素的多少只適用於
有限集合。為了比較兩個
無限集合的元素的多少,
集合論的創立者德國數學家
康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對於有限集合顯然是適用的,現推廣到無限集合,即如果兩個無限集合之間能建立一個一一對應,我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對於無限集合,我們不再說它們的元素個數相同,而說這兩個集合
等勢,或者說,這兩個集合的
基數相同。自然數集的基數是
阿列夫零,記作
。
與有限集對比,無限集有一些特殊的性質,其一是它可能與自身的
真子集有一一對應的關係,例如:
0 1 2 3 4 … (自然數集)
↕ ↕ ↕ ↕ ↕
1 3 5 7 9 …(奇數組成的集合)
這就是說,這兩個集合有同樣多的元素,或者說,它們是
等勢的。大數學家
希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性:如果一個旅館只有有限個房間,當它的房間都住滿了時,再來一個旅客,經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間,也都住滿了,經理卻仍可以安排這位旅客:他把1號房間的旅客換到2號房間,把2號房間的旅客換到3號房間,……如此繼續下去,就把1號房間騰出來了。
和自然數集等勢的集合有:
自然數集的勢嚴格小於
實數集的勢,即兩者間不能建立一一對應(詳見
對角論證法)。事實上,實數集的勢是
,即自然數集的
冪集的勢。
自然數列
數列0,1,2,3,4,5,…n,... 稱為
自然數列(OEIS中的數列A000027)。
自然數列的前n項和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2
歷史
自然數由數數而起。自然數最初的表示法是用一個符號代表每個物體,比如||||可以用來代表四個蘋果、或者四塊石頭、或者四頭牛。這種表示方法在
古巴比倫(約公元前2000年)的記數法中有所體現。
其後記數系統的創立,使得人們能以更少的符號去表示大數。巴比倫人便是使用
六十進制的,比如數字75,他們便會以“1,15”表示(當然是用他們的符號)。但如果觀察一下他們所使用的1至59的數,就會發現當中也有
十進制的影子。
古埃及人也建立了十進制的記數系統,包括個位、十位…直至一百萬。
之後進一步的發展是把0視為一個數的想法。由考古成果,我們已知約在公元前700年,巴比倫人就已經使用類近“0”的數字作為
占位符,但當0是最後一個
數位時,他們會省去不記。
印度學者
婆羅摩笈多於公元628年提出零的觀念,一般認為是首個接近現代意義上的0。
印度數字後來經
阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人起初仍對零作為數字感到抗拒,認為零不是一個“自然”數。認為自然數不包含
零的其中一個理由是因為人們在開始學習數字的時候是由“一、二、三...”開始,而不是由“零、一、二、三...”開始, 因為這樣是很不自然的。
在中國古代也有0這個概念,但並沒有0這個
阿拉伯數字的字樣,而是以空位表示。中國古代使用
算籌進行計算,在算盤上,以空位表示0。公元1世紀的《
九章算術》說:“正負術曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。”(這段話的大意是“減法:遇到同符號數字應相減其數值,遇到異符號數字應相加其數值,零減正數的差是負數,零減負數的差是正數。”)以上文字里的“無入”通常被
數學史家認為是零的概念。雖然如此,但是當時並沒有使用符號來表示零。
爭論
19世紀末,
集合論者給予了自然數幾個較嚴謹的定義。據這些定義,把零對應於
空集,包括於自然數內更為方便。邏輯論者及電算機科學家,接受集合論者的定義。而其他一些數學家,主要是數論學家,則依從傳統把零拒之於自然數之外。
在全球範圍內,針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。
在中國,2000年左右之前的中國小教材一般
不將0列入自然數之內,或稱其屬於“擴大的
自然數列”。在2000年左右之後的新版中國小教材中,普遍將0
列入自然數。
國際標準ISO 31-11:1992《量和單位 第十一部分:物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》(已被ISO/IEC 80000-2取代)中,從集合論角度規定:符號
所表示的自然數集是包括正整數和0。新修訂的ISO/IEC 80000-2也規定:符號
N或ℕ所表示的自然數集包括正整數和0。
中國於1993年制定的強制性國家標準《物理科學和技術中使用的數學符號》(GB 3102.11-93)參照國際標準ISO 31-11:1992規定:
表示“非負整數集;自然數集”,
={0,1,2,3,...}。而
正整數集應上標星號或下標加號,記作
或
。