數列

數列

數列(sequence of number)是以正整數集(或它的有限子集)為定義域的函式,是一列有序的數。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱為這個數列的第2項,以此類推,排在第n位的數稱為這個數列的第n項,通常用an表示。

著名的數列有斐波那契數列三角函式卡特蘭數楊輝三角等。

基本介紹

  • 中文名:數列
  • 外文名:sequence of number
  • 領域:數學
  • 表示:an
  • 釋義:以正整數集為定義域的函式
  • 數列的項:數列中的每一個數
由來,三角形數,正方形數,概念,函式解釋,一般形式,項,分類,公式,等差數列,定義,通項公式,等差中項,前n項和,性質,套用,等比數列,定義,等比中項,通項公式,前n項和,性質,套用,等和數列,

由來

三角形數

傳說古希臘畢達哥拉斯(約公元前570-約公元前500年)學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。比如,他們研究過:
三角形點陣三角形點陣
由於這些數可以用如右圖所示的三角形點陣表示,他們就將其稱為三角形數。

正方形數

類似地,
被稱為正方形數,因為這些數能夠表示成正方形。因此,按照一定順序排列的一列數稱為數列。

概念

函式解釋

數列的函式理解:
①數列是一種特殊的函式。其特殊性主要表現在其定義域值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函式,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
②用函式的觀點認識數列是重要的思想方法,一般情況下函式有三種表示方法,數列也不例外,通常也有三種表示方法:a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。
③函式不一定有解析式,同樣數列也並非都有通項公式

一般形式

數列的一般形式可以寫成
簡記為{an}。

數列中的項必須是數,它可以是實數,也可以是複數
用符號{an}表示數列,只不過是“借用”集合的符號,它們之間有本質上的區別:1.集合中的元素是互異的,而數列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的,而數列中的項必須按一定順序排列,也就是必須是有序的。

分類

(1)有窮數列和無窮數列:
項數有限的數列為“有窮數列”(finite sequence);
項數無限的數列為“無窮數列”(infinite sequence)。
(2)對於正項數列:(數列的各項都是正數的為正項數列)
1)從第2項起,每一項都大於它的前一項的數列叫做遞增數列;如:1,2,3,4,5,6,7;
2)從第2項起,每一項都小於它的前一項的數列叫做遞減數列;如:8,7,6,5,4,3,2,1;
3)從第2項起,有些項大於它的前一項,有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列(搖擺數列);
(3)周期數列:各項呈周期性變化的數列叫做周期數列(如三角函式);
(4)常數數列:各項相等的數列叫做常數數列(如:2,2,2,2,2,2,2,2,2

公式

(1)通項公式:數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式an=f(n)來表示,這個公式就叫做這個數列的通項公式,如
。數列通項公式的特點:1)有些數列的通項公式可以有不同形式,即不唯一;2)有些數列沒有通項公式(如:素數由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。
(2)遞推公式:如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。數列遞推公式特點:1)有些數列的遞推公式可以有不同形式,即不唯一。2)有些數列沒有遞推公式,即有遞推公式不一定有通項公式。

等差數列

定義

一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列(arithmetic sequence),這個常數叫做等差數列的公差(common difference),公差通常用字母d表示,前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。

通項公式

an=a1+(n-1)d
其中,n=1時 a1=S1;n≥2時 an=Sn-Sn-1。
an=kn+b(k,b為常數) 推導過程:an=dn+a1-d 令d=k,a1-d=b 則得到an=kn+b。

等差中項

由三個數a,A,b組成的等差數列堪稱最簡單的等差數列。這時,A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)。有關係:A=(a+b)÷2。

前n項和

倒序相加法推導前n項和公式:
Sn=a1+a2+a3 +·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2。
等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半:
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

性質

(1)任意兩項am,an的關係為:an=am+(n-m)d,它可以看作等差數列廣義的通項公式。
(2)從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*。
(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq。
(4)對任意的k∈N*,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差數列。

套用

日常生活中,人們常常用到等差數列如:在給各種產品的尺寸劃分級別時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數列進行分級。若為等差數列,且有an=m,am=n,則am+n=0。其於數學的中的套用,可舉例:快速算出從23到132之間6的整倍數有多少個,算法不止一種,這裡介紹用數列算令等差數列首項a1=24(24為6的4倍),等差d=6;於是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。

等比數列

定義

一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列(geometric sequence)。這個常數叫做等比數列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。
等比數列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。

等比中項

如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項
有關係:
註:兩個非零同號的實數的等比中項有兩個,它們互為相反數,所以
是a、G、b三數成等比數列的必要不充分條件。

通項公式

(其中首項是
,公比是q);
(n≥2)。

前n項和

當q≠1時,等比數列的前n項和的公式為:
當q=1時,等比數列的前n項和的公式為:
前n項和與通項的關係:
(n≥2)。

性質

(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則
(2)在等比數列中,依次每 k項之和仍成等比數列。
(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出:
(4)等比中項:q、r、p成等差數列,則
則為
等比中項。
,則有
另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數後構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪
,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
(5) 等比數列前n項之和
(6)任意兩項
的關係為
(7)在等比數列中,首項
與公比q都不為零。

套用

等比數列在生活中也是常常運用的。如:銀行有一種支付利息的方式---複利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計算下一期的利息,也就是人們通常說的利滾利。按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期。

等和數列

等和數列”:在一個數列中,如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數,那么這個數列叫做等和數列,這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列,如果其任意的連續k(k≥2)項的和都相等,我們就把此數列叫做等和數列,它的性質是:必定是循環數列。

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