射影空間

射影空間是代數幾何中最簡單的一類幾何對象。

k 上的 n 維仿射空間 k^n 中, 所有過原點的直線的全體構成的集合稱為 域 k 上的射影空間。這裡域 k 可以取複數域等等。

等價地, n 維球面中,把所有對徑點分別粘合起來, 得到的幾何物體稱為射影空間。 它的維數就是n.

n 維射影空間是最簡單的的、單連通、不可定向流形(n為偶數時不可定向,奇數時可定向), 也是最簡單的代數簇。它可以用若干個開集覆蓋住, 每個開集恰是 n 維仿射空間。

基本介紹

  • 中文名:射影空間
  • 外文名:projective space
  • 所屬學科:代數幾何
  • 類型:幾何對象
  • 套用:數學
  • 相關名詞:仿射空間
射影空間簡介,射影直線,射影平面,

射影空間簡介

射影空間有很多等價的定義。
k 上的 n 維仿射空間 k^n 中, 所有過原點的直線的全體構成的集合稱為 域 k 上的射影空間。這裡域 k 可以取複數域等等。
等價地, n 維球面中,把所有對徑點分別粘合起來, 得到的幾何物體稱為射影空間。 它的維數就是n.
n 維射影空間是最簡單的的、單連通、不可定向流形(n為偶數時不可定向,奇數時可定向), 也是最簡單的代數簇。它可以用若干個開集覆蓋住, 每個開集恰是 n 維仿射空間。
1維射影空間稱為射影直線,它就是直線添上一個無窮遠點
2維射影空間稱為射影平面, 它就是平面添上一條 無窮遠直線

射影直線

射影直線是指射影平面上的直線。
射影直線的定義是:在歐氏直線上添加一個無窮遠點後得到仿射直線,在仿射直線上,如果把普通點與無窮遠點同等看待而不加區分,那么這條直線就叫做射影直線。根據上述約定以及射影直線的定義,我們通過區別歐氏直線與射影直線來理解射影直線的形象,比如:歐氏直線是不封閉的,一點分直線為兩部分,三點排成唯一順序,如下左圖。射影直線是封閉的,一點不能分直線為兩部分,三點不能排成唯一順序,所以,可以選取圓作為射影直線的模型。
通俗的講,就是一條直線在添上一個無窮遠點,組成的新“直線”。
確切的講,就是射影空間中一條一維線性稱為射影直線(就是說,由一組一次齊次方程得到的解空間一維的,這個解空間稱為射影直線)。
射影直線是幾何里最簡單的完備代數簇。它也被稱為有理曲線
我們知道球面射影平面有一個球極投影, 它把北極點映到射影平面的無窮遠點,把球面上的圓環映到射影直線。
在這個投影下,我們發現所謂的橢圓雙曲線拋物線,原來都是某條射影直線的一部分。 它們在球面上的原像都是圓環,只是因為所處的位置不同,所以投影在射影平面上,才會顯得千差萬別。 實際上都是同一個東西而已。

射影平面

概述
射影平面就是2維射影空間。它可以視為平面添上一條無窮遠 直線。 它是代數幾何射影幾何里最基本的對象。射影平面的定義比較抽象,它在射影平面的理解中是必不可少的一個環節。射影平面的定義是:歐氏平面上添加一條無窮遠直線即可得仿射平面,在仿射平面上,如果對普通元素與無窮遠元素不加區分,即可得射影平面。結合射影直線的定義可得出對射影平面的如下理解:射影平面上的直線是封閉的,且任意兩條直線有一個交點,每一條直線上有唯一一個無窮遠點,射影平面上有唯一一條無窮遠直線。根據上述的理解,還可得出射影平面與歐氏平面的不同,如:在歐氏平面上一條直線可以把平面分為兩個區域,兩條相交直線可以把平面分為四個區域;而在射影平面上,一條直線並不能把該平面分為兩個區域,因為連線兩個點的線段有兩個,其中只有一個線段與另一直線相交,而另一線段一定不與此直線相交。兩直線只能把射影平面分為兩個區域,如下圖的兩部分和Ⅱ的兩部分都是相通的,而Ⅰ、Ⅱ兩部分是不相通的。因為在射影平面上,直線是封閉的,且兩直線有且僅有一個交點。
用射影平面的模型來理解射影平面的形象
在上述理解的基礎上,為了進一步理解射影平面的整體性質,給出射影平面以下的幾種模型。
模型一:
我們知道,默比烏斯帶的特點是具有單側性,即沿著這帶子上任一處出發塗一種顏色,則可以不越過邊界將它全部塗遍(即原紙帶的兩面都塗上同樣的顏色)。我們從下面這模型出發,藉助於默比烏斯帶的單側性來說明射影平面也是單側的。我們可以作一個默比烏斯帶,它是射影平面的一部份。如果把默比烏斯帶的兩個同樣的邊界都粘和起來,就可以得到射影平面。我們可以想像得出射影平面的單側性和封閉性。在歐氏空間裡,我們只能看到射影平面的一部分。
模型二:
射影平面的模型還可以如下方式給出,設在歐氏空間中給定一個原點O為球心的球面,當把球面上對徑點粘和為一點,視為射影點,並把對徑點粘和為一點的球面上的大圓視為射影直線,則得到的圖形即為射影平面的一個模型。
在這模型中,射影直線都是封閉的,並且任意兩條射影直線都相交於一點。而且,是為了使得中心射影成為一一對應,才給平行線添加交點,引進了無窮遠點。從而由歐氏直線得到仿射直線,由仿射直線得到射影直線,而由歐氏平面得到仿射平面,由仿射平面得到射影平面。在這裡,此射影平面的模型還可以與仿射平面建立一一對應關係。事實上,取定與給定球面相切於一點的仿射平面α,以球心O為射影中心建立此模型Ψ到仿射平面α的中心射影,在此中心射影下,對於Ψ上的Ao點,即球面上的一對對徑點A和B,從球心O作通過A和B兩點的直線交仿射平面於點C,則點Ao與C對應,而由位於過球心O,平行於α的歐氏平面上的球面大圓所決定的射影直線,則對應於仿射平面上的無窮遠直線。這樣,就可以建立α上的點與Ψ上的點之間的一一對應。
模型三:
射影平面還可以有其它的模型。取過空間一點O的全部直線和平面,稱為一個把。對於仿射平面α上任一點,對應於把上的一條直線OA,α上的任意一條直線l對應於把里的一個平面β。把的每一條直線稱為一個“點”,其中每一個平面稱為一條直線,則這個把也是射影平面的一個模型,可把這模型稱為直線把模型。在這個模型里,滿足兩直線交於一個點。對於上述所討論的模型,是從通常空間加以改造而得出的,這有助於我們理解射影平面的結構與性質。
綜上所述,在射影平面上,直線是封閉的,每一條直線上都有一個無窮遠點,兩條直線有且僅有一個交點,射影平面從局部上看與歐氏平面相同,而從整體看,它是一個具有單側性的封閉曲面。

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