仿射空間

仿射空間

仿射空間是數學中的幾何結構,這種結構是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中,點與點之間做差可以得到向量,點與向量做加法將得到另一個點,但是點與點之間不可以做加法。

基本介紹

  • 中文名:仿射空間
  • 外文名:Affine space
  • 屬於:幾何結構
  • 含義:有仿射結構的集合
定義,非正式描述,概念理解,

定義

仿射空間是點和向量集合,它的定義是:
(1)設A為一個點集,A中任意兩個有序點P、Q對應於n維矢量空間中的一個矢量a;
(2)設P、Q、R為A中任意三點,P、Q對應於矢量a,Q、R對應於矢量b,則P、R對應於矢量a+b。
具有上面兩個性質的點集A就叫做一個仿射空間。

非正式描述

仿射空間是沒有起點只有方向與大小的向量所構成的向量空間。假設有甲乙兩人,其中甲知道一個空間中真正的原點,但是乙認為另一個點p才是原點。現求兩個向量a和b的和。乙畫出 p到a和 p 到b 的箭頭, 然後用平行四邊形找到他認為的向量 a + b。但是甲認為乙畫出的是向量p+(a − p) + (b − p)。同樣的,甲和乙可以計算向量a和b的線性組合,通常情況下他們會得到不同的結果。
然而,請注意:
如果線性組合係數的和為1,那么甲和乙將得到同樣的結果!仿射空間就是這樣產生的:甲知道空間的"線性結構"。但是甲和乙都知道空間的"仿射結構",即他們都知道空間中仿射組合的值,其中仿射組合的定義為係數和為1的線性組合。
具有仿射結構的集合就是一個仿射空間。

概念理解

從基本數學概念上來說,一個坐標系對應了一個仿射空間 (Affine Space),當矢量從一個坐標系變換到另一個坐標系時要進行線性變換 (Linear Transformation)。對點來說, 要進行仿射變換 (Affine Transformation)。這就是我們利用同源坐標的理由。它能在對矢量進行線性變換的同時對點進行仿射變換。坐標變換的基本操作就是將變換矩陣乘以矢量或點。

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