t設計

t設計(t-design)是平衡不完全區組設計的一種推廣，設D=(V,B)為有限關聯結構，若下列條件滿足：(i)|V|=v；(ii)存在常數k，使對所有B∈B，都有k_B=k；(iii)對給定的正整數t，存在常數λ>0，使對V的任意一個t元子集S，都有λ_s=λ，則稱D為一個t-(v,k,λ)設計，簡稱t-設計，t-(v,k,λ)設計常記作S_λ(t，k；v)。設D=(V，B)為一個t-(v,k,λ)設計，如果V的每個k元子集都在B中出現相同的次數，則稱D為平凡的t-設計。例如當v≤k+t時，任一t-(v,k,λ)設計都是平凡的。

基本介紹

• 中文名：t設計
• 外文名：t-design
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合數學（組合設計理論）
• 簡介：平衡不完全區組設計的一種推廣

基本介紹

設(X，B)為一正則設計(參見“區組設計”)，其中|X|=v，區組大小為k，若X的任一t元子集恰含於B的λ個區組之中，則稱(X，B)為t-(v，k，λ)設計，簡稱t設計，一個2-(v，k，λ)設計就是(v，k，λ)-BIBD，沒有重複區組的t設計稱為簡單t設計，λ=1的t-(v，k，λ)設計稱為施泰納系，記為S(t，k，v)，從而t設計有時也記為S_λ(t，k，v)。

一個t-(v，k，λ)設計也是一個s-(v，k，λ_s)設計，式中

這提供了t設計參數t，v，k，λ應滿足的必要條件：

這些參數還必須滿足推廣的費希爾不等式,若(X，B)是一個t-(v，k，λ)設計，並且|B|=b，則當t=2s且v≥k+s時，

當t=2s+1且v≥k+s+1時，

若X的每個k元子集在B中出現相同次數，則稱t設計(X，B)是平凡的。例如，v元集X的全體k元子集構成一個平凡的t設計，泰爾林克(L.Teirlink)證明：對所有t都存在非平凡的簡單t設計，威爾森(R.W.Wilson)指出：當λ充分大時，上述關於t-(v，k，λ)設計存在的必要條件也是充分的。哈拿匿(H.Hanani)得到了3-(v，4，λ)設計存在性的完整結果：3-(v，4，λ)設計存在的充分必要條件是：

λ(v-2)≡0(mod 2)，

λ(v-1)(v-2)≡0(mod 3)

且λv(v-1)(v-2)≡0(mod 8)；對其他參數情形，目前很少有完整結果。

t-設計的若干特殊類型

下面給出t-設計的若干特殊類型：

(i)t=1，1-設計也叫戰術構形(tactical configuration)或構形。

(ii)t=2，2-設計即熟知的BIB設計，2-(v，k，λ)設計通常記作B(k，λ；v)。

(iii)k=t，λ=1，t-(v，t，1)設計也叫完全超圖(complete hypergraph)。

k=t=2時。2-(v，2，1)設計叫完全圖(complete graph)。

(iv)λ=1，t-(v，k，1)設計常叫做Steiner系。並記作S(t，k，v)。

(v)S_λ(2，3，v)叫三元系，特別，S(2,3,v)叫Steiner三元系，記作STS(v)。

(vi)S_λ(3，4，v)叫四元系(quadruple system)，特別，S(3，4，v)叫做Steiner四元系，記作SQS(v)。