softmax 邏輯回歸

softmax邏輯回歸模型是logistic回歸模型在多分類問題上的推廣，在多分類問題中，類標籤y可以取兩個以上的值。 Softmax回歸模型對於諸如MNIST手寫數字分類等問題是很有用的，該問題的目的是辨識10個不同的單個數字。Softmax回歸是有監督的，不過後面也會介紹它與深度學習無監督學習方法的結合。

基本介紹

• 中文名：softmax邏輯回歸
• 外文名：Softmax logical regression

簡介

在 logistic 回歸中，我們的訓練集由m個已標記的樣本構成： ，其中輸入特徵 。（我們對符號的約定如下：特徵向量x的維度為n+1，其中 對應截距項 。） 由於 logistic 回歸是針對二分類問題的，因此類標記 。假設函式(hypothesis function) 如下：

我們將訓練模型參數 ，使其能夠最小化代價函式 ：

在 softmax回歸中，我們解決的是多分類問題（相對於 logistic 回歸解決的二分類問題），類標 可以取 個不同的值（而不是 2 個）。因此，對於訓練集 ，我們有 。（注意此處的類別下標從 1 開始，而不是 0）。例如，在 MNIST 數字識別任務中，我們有 個不同的類別。

對於給定的測試輸入 ，我們想用假設函式針對每一個類別j估算出機率值 。也就是說，我們想估計 的每一種分類結果出現的機率。因此，我們的假設函式將要輸出一個 維的向量（向量元素的和為1）來表示這 個估計的機率值。 具體地說，我們的假設函式 形式如下：

其中 是模型的參數。請注意 這一項對機率分布進行歸一化，使得所有機率之和為 1 。

為了方便起見，我們同樣使用符號 來表示全部的模型參數。在實現Softmax回歸時，將 用一個 的矩陣來表示會很方便，該矩陣是將 按行羅列起來得到的，如下所示：

代價函式

我們來介紹 softmax 回歸算法的代價函式。在下面的公式中，1是示性函式，其取值規則為：

1{值為真的表達式}=1

1{值為假的表達式} =0。舉例來說，表達式 的值為1 ， 的值為 0。我們的代價函式為：

值得注意的是，上述公式是logistic回歸代價函式的推廣。logistic回歸代價函式可以改為：

可以看到，Softmax代價函式與logistic 代價函式在形式上非常類似，只是在Softmax損失函式中對類標記的 個可能值進行了累加。注意在Softmax回歸中將 分類為類別 的機率為：

對於 的最小化問題，當前還沒有閉式解法。因此，我們使用疊代的最佳化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。經過求導，我們得到梯度公式如下：

讓我們來回顧一下符號 " " 的含義。 本身是一個向量，它的第 個元素 是 對 的第 個分量的偏導數。

有了上面的偏導數公式以後，我們就可以將它代入到梯度下降法等算法中，來最小化 。 例如，在梯度下降法的標準實現中，每一次疊代需要進行如下更新: ( ）。

當實現 softmax 回歸算法時， 我們通常會使用上述代價函式的一個改進版本。具體來說，就是和權重衰減(weight decay)一起使用。我們接下來介紹使用它的動機和細節。

Softmax回歸模型參數化的特點

Softmax 回歸有一個不尋常的特點：它有一個“冗餘”的參數集。為了便於闡述這一特點，假設我們從參數向量 中減去了向量 ，這時，每一個 都變成了 ( )。此時假設函式變成了以下的式子：

換句話說，從中減去 完全不影響假設函式的預測結果！這表明前面的 softmax 回歸模型中存在冗餘的參數。更正式一點來說， Softmax 模型被過度參數化了。對於任意一個用於擬合數據的假設函式，可以求出多組參數值，這些參數得到的是完全相同的假設函式。

進一步而言，如果參數是代價函式的極小值點，那么同樣也是它的極小值點，其中可以為任意向量。因此使 最小化的解不是獨立的。（有趣的是，由於仍然是一個凸函式，因此梯度下降時不會遇到局部最優解的問題。但是 Hessian 矩陣是奇異的不可逆的，這會直接導致採用牛頓法最佳化就遇到數值計算的問題）

注意，當時，我們總是可以將替換為（即替換為全零向量），並且這種變換不會影響假設函式。因此我們可以去掉參數向量（或者其他中的任意一個）而不影響假設函式的表達能力。實際上，與其最佳化全部的個參數（其中），我們可以令，只最佳化剩餘的 個參數，這樣算法依然能夠正常工作。

在實際套用中，為了使算法實現更簡單清楚，往往保留所有參數，而不任意地將某一參數設定為 0。但此時我們需要對代價函式做一個改動：加入權重衰減。權重衰減可以解決 softmax 回歸的參數冗餘所帶來的數值問題。

權重衰減

我們通過添加一個權重衰減項來修改代價函式，這個衰減項會懲罰過大的參數值，我們的代價函式變為：

有了這個權重衰減項以後 ()，代價函式就變成了嚴格的凸函式，這樣就可以保證得到獨立的解了。 此時的 Hessian矩陣變為可逆矩陣，並且因為是凸函式，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保證收斂到全局最優解。

為了使用最佳化算法，我們需要求得這個新函式的導數，如下：

通過最小化，我們就能實現一個可用的 softmax 回歸模型。

Softmax回歸與Logistic 回歸的關係

當類別數時，softmax 回歸退化為 logistic 回歸。這表明 softmax 回歸是 logistic 回歸的一般形式。具體地說，當時，softmax 回歸的假設函式為：

利用softmax回歸參數冗餘的特點，我們令，並且從兩個參數向量中都減去向量，得到:

因此，用來表示，我們就會發現 softmax 回歸器預測其中一個類別的機率為，另一個類別機率的為，這與 logistic回歸是一致的。

Softmax 回歸 vs. k 個二元分類器

如果你在開發一個音樂分類的套用，需要對k種類型的音樂進行識別，那么是選擇使用 softmax 分類器呢，還是使用 logistic 回歸算法建立 k 個獨立的二元分類器呢？

這一選擇取決於你的類別之間是否互斥，例如，如果你有四個類別的音樂，分別為：古典音樂、鄉村音樂、搖滾樂和爵士樂，那么你可以假設每個訓練樣本只會被打上一個標籤（即：一首歌只能屬於這四種音樂類型的其中一種），此時你應該使用類別數k= 4的softmax回歸。（如果在你的數據集中，有的歌曲不屬於以上四類的其中任何一類，那么你可以添加一個“其他類”，並將類別數k設為5。）

如果你的四個類別如下：人聲音樂、舞曲、影視原聲、流行歌曲，那么這些類別之間並不是互斥的。例如：一首歌曲可以來源於影視原聲，同時也包含人聲 。這種情況下，使用4個二分類的 logistic 回歸分類器更為合適。這樣，對於每個新的音樂作品 ，我們的算法可以分別判斷它是否屬於各個類別。

當前我們來看一個計算視覺領域的例子，你的任務是將圖像分到三個不同類別中。(i) 假設這三個類別分別是：室內場景、戶外城區場景、戶外荒野場景。你會使用sofmax回歸還是 3個logistic 回歸分類器呢？ (ii) 當前假設這三個類別分別是室內場景、黑白圖片、包含人物的圖片，你又會選擇 softmax 回歸還是多個 logistic 回歸分類器呢？

在第一個例子中，三個類別是互斥的，因此更適於選擇softmax回歸分類器 。而在第二個例子中，建立三個獨立的 logistic回歸分類器更加合適。

中英文對照

• Softmax回歸 Softmax Regression
• 有監督學習 supervised learning
• 無監督學習 unsupervised learning
• 深度學習 deep learning
• logistic回歸 logistic regression
• 截距項 intercept term
• 二元分類 binary classification
• 類型標記 class labels
• 估值函式/估計值 hypothesis
• 代價函式 cost function
• 多元分類 multi-class classification
• 權重衰減 weight decay