p進數

p進數是數論中的概念，也稱作局部數域，是有理數域拓展成的完備數域的一種。

p進數的概念首先由庫爾特·亨澤爾於1897年構思並刻畫，其發展動機主要是試圖將冪級數方法引入到數論中，但現今p進數的影響已遠不止於此。例如可以在p進數上建立p進數分析，將數論和分析的工具結合起來。此外p進數在量子物理學、認知科學、計算機科學等領域都有套用。

基本介紹

• 中文名：p進數
• 外文名：p-adic numbers
• 提出者：Kurt Hensel
• 提出時間：1897年
• 套用學科：數論
• 適用領域範圍：量子物理學、認知科學、計算機科學
• 推廣：實數和複數的（普通）絕對值概念

定義

p-adic numbers由Kurt Hensel在1908年首先引入。對每個質數p， p進數系統將有理數的普通算術用一種不同於實數和複數系統的方法進行了擴展。這是通過對絕對值這一概念的另一種解釋來達成的。p進數主要是被一次將冪級數的思想和技術引入到數論中的嘗試所推動，但它們現在的影響不止於此。例如，p進數分析這一領域實際上提供了另一種形式的微積分。

更精確的講，給定一個質數p，p進數的域 Qp是有理數的擴展. 把所有Qp域放在一起考量,我們就有了Helmut Hasse的局部-全體原則, 該原則大意是特定方程組在有理數上有解若且唯若它們在實數上和所有質數p的p進數上有解。域 Qp也是一個度量拓撲空間,該度量由有理數的另一種取值導出。該度量是完備的(每個柯西列收斂).這使得Qp上能引入微積分,這個分析和代數結構的互動影響給了p進數系統其價值和用途。

p進整數是指滿足的無窮整數列，其中。任意兩p進整數的運算滿足：

此時所有的p進整數構成含麼交換環，其零元與單位元分別為全零和全一的p進整數。

顯然如果那么我們有任意模都是可逆的，因此任意p進整數可逆若且唯若其首項不為0。那么對於任意非零不可逆元，我們可以證明其均可寫成的形式（其中，為可逆元）。證明如下：

由不為零知，存在最小的i使得，那么由定義知。由歸納法易知且，因此將是可逆的，容易驗證。

有了如上性質我們可以定義p進有理數為，容易驗證構成域且為的分式域。事實上通過指數i我們可以定義的賦值為，因此構成賦值域。

展開式

每個p進數都有唯一的展開式：

其中k就是x的p進賦值，。這一展開式在度量下收斂到x。代數構造中p進整數的數列表示的第N項，等於其展開式前N項的部分和。設p進整數x的數列表示為，其展開式為，則

這說明p進整數數列表示中，隨著項數增大，數列的項在下收斂到p進整數自身。

記數法

仿照有理數中p進制的記數法，可以將p進數x記為：

稱為p進數的p進記法。

按的定義，x的“大小”（範數）為。也就是說，一個p進數小數點後位數越多則越大。這個性質與實數正好相反。

例子

從代數構造方法中可知，整數Z可以自然地嵌入Z_p中，因此非負整數在Q_p中表現為有限位數的p進整數。其p進記法和p進制記數法雷同。例如當 p=5時，自然數 438記為： 3223₅。負整數和分母不為p的正整數次冪的分數在p進記法中則表現為向左側延伸的無限循環。例如的p進記法為：

。

計算方法如下：

。

如果有理數x的分子或分母里含有p的冪次，則可以仿照p進制記數法的做法，先將其提出作為因數，寫成的形式，將表達為p進記法，然後移動小數點得到x的p進記法。例如要求的p進記法，可以先將表示為，寫出的p進記法後，將小數點向左移動兩位得到：

因此，分母為p的正整數次冪的分數在p進數中表現為有限小數。

套用

數論

p進數對於同餘信息有一種獨特的編碼方法，這在數論里作用很大。例如，困擾數學家長達三百多年的費馬最後定理，終於在1994年由安德魯·懷爾斯使用p進數理論證明，這是數學上的重大突破。懷爾斯因此獲得2005年度邵逸夫獎。

量子物理

p進數剛出現時，學者們最初認為這理論屬於純數學領域，毫無任何實用價值。但1968年，兩位純數學研究者A. Monna和F. Van Der Blij首先提出將p進數套用到物理學中。1972年，E. Beltrametti和G. Cassinelli探討了一種取值為p進數的量子邏輯狀態模型。進入二十世紀八十年代後，p進數在量子物理學中的套用愈為廣泛。首先湧現的是p進弦和p進超弦模型。量子物理學家在這些模型中使用與實數拓撲性質不同的p進數，以構建出不同的時空結構，描述在普朗克尺度下與大尺度完全不同的物理現象和行為。在普朗克尺度下，基於實數的模型無法很好的描繪出某些量子特性，而p進數域的某些性質，比如說無序性，和普朗克尺度下的物理特質相近。

p進數量子物理學中的套用也帶動了數學中對p進數的研究。例如p進弦論的研究促使數學家展開了對p進數上的分布理論、微分方程及偽微分方程（pseudodifferential equation）、機率論以及p進數上相應希爾伯特空間（裝備了額外結構的）中的運算元譜理論等多方面的研究。

信息編碼

p進數的數列展開表示可以被用於信息的編碼。因此p進數可以被用來描述很多信息處理的過程，在認知科學、心理學和社會學研究中出現。

動力系統理論

算術動力系統是二十世紀九十年代提出的數學理論，整合了動力系統及數論。傳統的離散動力系統會探討疊代函式在複平面或是實數中的性質。算術動力系統則探討多項式或解析函式在整數、有理數、p進數及幾何點中的疊代特性。p進數動力系統在計算機科學領域中的直線式程式（straight-line programs）問題、數值分析與模擬中的偽隨機數問題、密碼學中的流加密問題上都有重要作用。在計算機科學和自動機理論中，p進遍歷理論可以幫助快速製造大拉丁方。後者在實驗設計、軟體測試和通信理論中都有良多套用。