Ferrers圖像

一個從上而下的n層格子， m(i） 為第i 層的格子數，當m（i）>=m(i+1)，其中（i=1,2,…，n-1）,即上層的格子數不少於下層的格子數時(weaklydecreasing )，稱之為Ferrers圖像（Ferrers diagram），如右圖所示。

基本介紹

• 中文名：Ferrers圖像
• 外文名：Ferrers diagram
• 概念：一個從上而下的n層格
• 性質：每一層至少有一個格子；
• 套用：組合數學
• 作用：整數拆分

圖像概念

一個從上而下的n層格子， m(i） 為第i 層的格子數，當m（i）>=m(i+1)，其中（i=1,2,…，n-1）,即上層的格子數不少於下層的格子數時(weakly decreasing )，稱之為Ferrers圖像（Ferrers diagram）。

圖像性質

（1）每一層至少有一個格子；
（2）第一行與第一列互換，第二行與第二列互換，…，所得到的圖象仍然是Ferrers圖象，這兩個 Ferrers圖象稱為是一對共軛的Ferrers圖象。

利用Ferrers圖像可得關於整數拆分的幾個結果。

(a)整數n拆分成最大數為k的拆分數，和數n拆分成k個數的和的拆分數相等。

解釋：因整數n拆分成k個數的和的拆分可用一k行的圖像表示。所得的Ferrers圖像的共軛圖像最上面一行有k個格子。

(b)整數n拆分成最多不超過m個數的和的拆分數，和n拆分成最大不超過m的拆分數相等。

(c)整數n拆分成互不相同的若干奇數的和的拆分數,和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分數相等。

證明：設，其中.

構造一個Ferrers圖像，其第一行、第一列都是格，對應於，第二行，第二列各格，對應於。以此類推。由此得到的Ferres圖像是共軛的。反過來也一樣。

性質（2）

圖像套用

（a） 整數n拆分成k個數的和的拆分數，和數n拆分成最大數為k的拆分數相等。因整數n拆分成k個數的和的拆分可用一k行的圖像表示。所得的Ferrers圖像的共軛圖像最上面一行有k個格子。例如：

24=6+6+5+4+3

5個數，最大數為6

再如：

24=5+5+5+4+3+2

6個數，最大數為5

（b） 整數n拆分成最多不超過m個數的和的拆分數，和n拆分成最大不超過m的拆分數相等。 理由與（a）類似。

（c） 整數n拆分成互不相同的若干奇數的和的拆分數，和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分數相等。

設n=(2n1+1)+(2n2+1)+……+2(nk+1)，其中n1>n2>……nk。

例如：17=9+5+3

對應的Ferrers圖像為：