麥克勞林不等式

數學中，麥克勞林不等式（Maclaurin's inequality），以科林·麥克勞林冠名，是算術幾何平均不等式的加強版。

基本介紹

• 中文名：麥克勞林不等式
• 外文名：Maclaurin's inequality
• 學科：數學

詳解

數學中，麥克勞林不等式（Maclaurin's inequality），以科林·麥克勞林冠名，是算術幾何平均不等式的加強版。

設a₁,a₂,...,a_n是正實數，對k=1,2,...,n定義平均S_k為

這個分式的分子是度數為n變元a₁,a₂,...,a_n的k階基本對稱多項式，即a₁,a₂,...,a_n中指標遞增的任意k個數乘積之和。分母是分子的項數，二項式係數 。

麥克勞林不等式是如下不等式鏈：

等號成立若且唯若所有a_i相等。

證明

麥克勞林不等式可用牛頓不等式證明。證明的思路是運用歸納法：

首先證明

也就是： 。

這個式子等價於 ，因此成立。

其次，假設對某個 ，已經證明了 ，那么也就等於說證明了：

牛頓不等式說明，還有：

這個不等式兩邊作k次乘冪，就得到：

於是，綜上所述，可以證明對所有的 ，都有：