鞋匠刀形

鞋匠刀形(arbeloa)是一種特殊的圖形，若C是線段AB上的任一點，分別以AB，BC，CA為直徑且在AB的同側作半圓，則這三個半圓周所圍成的圖形稱為鞋匠刀形。

基本介紹

• 中文名：鞋匠刀形
• 外文名：arbeloa
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（圓）
• 相關書籍：《定理彙編》
• 相關人物：阿基米德

基本介紹

《定理彙編》是一本十分重要的書籍，其阿拉伯文譯本至今尚存，包括屬於阿基米德等一些天才的幾何定理，其中有一-些是關於鞋匠刀形(arbelos)的，即由在同一直線上的三個半圓圍成的圖形被阿基米德稱為arbelos(希臘語中是鞋匠刀的意思，如圖1所示)。

鞋匠刀形是一個十分漂亮又略顯詭異的圖形，阿基米德在經過艱苦的運算之後求得了與三個半圓都相切的圓的半徑關係。五百年後，帕普斯把以下事實描繪為一個古代問題的結果：如果在鞋匠刀內畫一連串相切的圓，那么第n個圓的圓心離底線的高度是它的直徑的n倍，如圖2所示。

圖1 鞋匠刀形

圖2

阿基米德的證明

問題：鞋匠刀形的面積與線段AC有著什麼樣的關聯？如果鞋匠刀形內兩個內切圓位於AC的兩側，並與AC相切，那么這兩個圓又有著什麼樣的關聯?

阿基米德證明了鞋匠刀形的面積等於以AC為直徑的圓的面積。如果鞋匠刀形內兩個內切圓位於AC的兩側，並與AC相切，那么這兩個圓相等。

具體解答過程如下：

圖3

圖4

由題意，三角形ADB是直角三角形，C是D的垂足，所以有:

題目要求的面積是一個大半圓的面積減去兩個小半圓的面積，所以有

這正好是AC為直徑的圓的面積。可見阿基米德的結論是正確的。

再來看第二個問題。如上圖所示，設大圓的圓心為O，兩個相切的圓的圓心為O₁和O₂，兩個小圓的圓心為O₃和O₄。圓O₁和O₂的切點為D，圓O₃和O₄的切點為B，圓O₃和垂線的切點為C，圓O₄和垂線的切點為E，O₃作向圓O的直徑的垂線，垂足為A，O₄作向圓O的直徑的垂線，垂足為F。圓O、O₁、O₂的半徑分別為R、R₁、R₂，則R=R₁+R₂。設圓O₃和O₄的半徑分別為x和y。

根據相切的關係，得出:O₁O₃=R₁+x，O₁A=O₁D－AD=O₁D－O₃C=R₁－x，OO₃=R－x，OA=OD－AD=R－2R₂－x。

由勾股定理，可以得出：

所以，代入上面的結果得出：

利用計算得出

現在我們再求y的值。

由勾股定理得

所以

也就是

計算得出

所以x=y，也就是圓O₃和O₄一樣大。

即，如果鞋匠刀形內兩個內切圓位於AC的兩側，並與AC相切，那么這兩個圓相等。