雷諾傳輸定理(Reynolds transport theorem)，又稱為傳輸方程式(Transport equation)，用於描述流體(fluid)性質的變化。
基本介紹
- 中文名：雷諾傳輸定理
- 外文名：Reynolds transport theorem
- 又名：傳輸方程式
- 意義：描述流體(fluid)性質的變化
簡介,特點,通用型式,針對流體塊的形式,錯誤的引用,特別形式,簡化,在一維下的詮釋及簡化,
簡介
雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分律的三維推廣。
考慮在時變的區域
積分
，其邊界為
，考慮上式對時間的積分：
若要求上述積分的導數，會有兩個問題，
的時間相依性，及因
動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。
特點
傳輸方程式可用來定量地描述流場中流體性質的變化情形，譬如在一個控制容積(Control volume)之中含有某種流體。在經過一段時間 之後，若控制容積中流體的總體性質B有所改變，則其變化必定是下列兩種原因所造成的： (1)總體性質B可能會因為本身的特性或外在因素的影響而產生隨時間的變化，譬如流體中含有某種化學物質，該物質會因化學反應造成其質量B的變化，dB/dt即為該物質質量的變化率。又譬如B為流體的動量，在受到外力的狀況下，流體的動量會有所改變。 (2)因為流體流動所造成的變化：當流體流經控制容積時，會帶入或帶出一部份的物質。當流出控制容積的總體性質大於流入量，則淨流出量為正，會造成控制容積之中該總體性質的減少；反之，流入量大於流出量便會造成該總體性質的增加。
通用型式
要推導的雷諾傳輸定理是：
其中
為向外的單位法向量，
為區域中的一點，也是積分變數，
及
是
內的體積元素及表面元素，
為面積元素的速度，不一定要是流速。函式
可以是張量、向量或標量函式。注意等式左邊的積分只是時間的函式，因此可以用全微分。
針對流體塊的形式
在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若
為一流體塊，則存在速度函式
及邊界元素符合下式：
上式在替代後，可以得到以下的定理：
錯誤的引用
此定理常被錯誤的引用為只針對物質體積（material volume）的形式，若將只針對物質體積套用於物質體積以外的區域中，就會出現問題。
特別形式
簡化
若
不隨時間改變，則
，且恆等式化簡為以下的形式：
不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。
在一維下的詮釋及簡化
此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設f和y}和z無關，且
為
平面的單位方塊，且有
及
的極限，雷諾傳輸定理會簡化為：
上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。
