雅可比符號

作為勒讓德符號的推廣，雅可比符號(Jacobi symbol)是Jacobi於1837年引入的一種數論符號。

基本介紹

• 中文名：雅可比符號
• 外文名：Jacobi symbol
• 學科：數學-初等數論
• 來源：勒讓德符號
• 符號表示：(a/m)或(a\m)
• 相關名詞：勒讓德符號

簡介

雅可比符號(Jacobi symbol)是勒讓德符號的推廣，整數對整數的雅可比符號表示為。設是大於的奇數，且的素因數分解式為 (式中因數可以相同)，如果 ，則雅可比符號定義為：

其中，是對的勒讓德符號。例如，取，則：

註：雅可比符號是勒讓德符號的推廣，但是根據雅可比符號的值不能判斷同餘式是否有解。

定義補充說明

（1）當是奇素數時，雅可比符號就是勒讓德符號。

（2）當是奇素數且時，方程有解。當m不是奇素數時，這個結論不一定成立。

定理

定理1

（1）若，則

（2）

（3）對於任意的整數，有

（4）對於任意的整數a，b，(a,m)= 1，有

定理2

設是奇數，其中是素數，則下面的結論成立：

（1）

（2）

定理3

設m，n是大於1的奇整數，則

利用以上定理，可以容易計算Jacobi符號，特別是Legendre符號的數值。但是，必須注意，在判斷方程的可解性時，Legendre符號和Jacobi的作用是不一樣的。

對於一般的正奇數m來說，即使條件成立，也並不能保證一定有解。

舉例

例1

已知3371是素數，判斷方程是否有解。

解：利用Jacobi符號的性質，有

因此，方程無解。

例2

設a與b是正奇數，求的關係。

解：