雅可比猜想

雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多變數多項式的一個著名問題，最初是由數學家Keller於1939年提出，之後Shreeram Abhyankar取現名，並將之廣為傳播，以作為代數幾何的問題中，只需稍多於微積分的知識就能闡述的一個例子。雅可比猜想之所以聞名，因為有很多試圖解決猜想的證明，都有藏於細節中的錯誤。這猜想直至2019年仍未得到正確證明。

基本介紹

• 中文名：雅可比猜想
• 外文名：Jacobian conjecture
• 分類：代數幾何、多項式
• 領域：數理科學

雅可比行列式

令n>1為固定的整數，考慮多項式F1, ... , Fn，變數為X=(X1, ... , Xn)，係數在特徵為零的代數閉域k中。（可假設k為複數域 。）也就是說。定義函式F: kn→kn為

F(c1, ... , cn)=(F1(c1, ... , cn), ... , Fn(c1, ... , cn))

函式F的雅可比行列式是由F的偏導數組成的n×n矩陣的行列式

也是變數為X的多項式函式。

敘述

多變數微積分的反函式定理指出如在某一點有≠ 0，那么在該點附近F有反函式。由於k是代數閉域，是多項式，因此必定在某些點上為0，除非JF是非零的常數函式。以下是一項基本結果：

若F有反函式G: kn→kn，則是非零的常數函式。

而其反命題則為雅可比猜想：

令為一特徵為零的代數閉域。若

1、

2、是非零常數函式，（等價於以下條件：對於所有的皆是可逆的線性變換）