一個階梯函式就是一個分段常值函式，只是含有的階段很多但是有限。
基本介紹
- 中文名：階梯函式
- 外文名：staircase function
- 對象：實數函式
- 定義：有限的間隔指標函式的線性組合
- 特點：含有很多階段但是有限
概念,代數性質,
概念
一個階梯函式就是一個分段常值函式，只是含有的階段很多但是有限。
定義在
上的數值函式
是階梯函式，是指對任意的
，存在上的一個階台函式
，使得對任意的
，有
。
如果
是階梯函式，則是有界的。實際上，從對任意的
成立的
，得
代數性質
性質1：在
上的階梯函式形成一矢量空間，這空間用
來表示。
這個性質是明顯的。例如，從
，
，得
還要指出，
是的子空間。
性質2：如果
是階梯函式，則
也是階梯函式。
只須對
做證明即可；這性質來自
結果是，對兩個（或有限多個）階梯函式，
，函式
，
也是階梯函式。
性質3：如果是正階梯函式或零，則存在一個正階台函式或；零的序列，一致收斂到。
首先提出，如果對任意的
；又如果
收斂到，則
。這是因為對一切
，
且
。
從上面性質2得到，如果一致收斂到，則同時有
也一致收斂到。可是對一切數值函式有
，由此對使用加法有
於是
一致收斂到
。特別地，如果
，則
且
是一致收斂到
的正階台函式的序列。
