基本介紹
- 中文名：阿爾澤拉－阿斯科利定理
- 分類：數理科學
簡介,預備概念,敘述,證明,
簡介
等度連續的概念大約是在十九世紀的八十年代由兩位義大利數學家阿斯科利（1883年－1884年）和阿爾澤拉（1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的論文中證明了定理中關於連續函式集成為緊集的充分條件的部分，而阿爾澤拉則在1895年的另一篇論文中證明了定理的另一部分：成為緊集的必要條件，並首次給出了定理的完整證明。而不久之後，在1906年，法國數學家弗雷歇又將這個定理進行了推廣，使得在任意的能夠定義極限的空間中都有同樣的結果（比如度量空間或豪斯多夫空間）。
在阿爾澤拉-阿斯卡利定理被首次證明的年代，人們並沒有充分理解該定理的重要意義。隨著研究的不斷深入，緊緻性成為了分析學、拓撲學領域的關鍵概念，而此定理就描述了緊緻性。該定理是利用歐拉法證明常微分方程組理論中的皮亞諾存在性定理時不可或缺的一環，也是複分析中的蒙泰爾定理的證明中的重要組成部分。此外，彼得-外爾定理的一個證明中用到了此定理。
預備概念
以下是在定理的敘述和證明中將會用到的概念：
設K、X為兩個度量空間。
為從 
射到 
的連續映射的集合。此集合的一個子集被稱為等度連續的，若且唯若對任意的x∈K和任意ε>0，存在x的鄰域
使得對所有的
以及 
，都有：
作為對比，一個集合 被稱作一致有界，如果其中所有的函式的一致範數（絕對值的上確界）都小於某一個常數。
敘述
實數域上的情況
最簡單的情況是在實數域上，這時的阿爾澤拉-阿斯科利定理的形式為：
- 考慮一個定義在實數軸中的有界閉區間 [a,b] 上的實數值函式序列 (fn)n∈N。如果這個序列是一致有界並且等度連續的，那么必定這個函式序列中存在一個子序列 (fnk) 是一致收斂的。
例子
設 (fn)n∈N是一個一致有界、可導，並且導數也是一致有界的函式序列，那么 (fn)n∈N這個序列滿足阿爾澤拉-阿斯科利定理的條件，因為可以證明它也是等度連續的。因此，這個函式列擁有一個一致收斂的子序列。
緊度量空間和緊豪斯多夫空間
對於一般的度量空間，阿爾澤拉-阿斯科利定理定義如下：
設 為一個緊度量空間，
為一個完備的度量空間，那么 
的子集 
在緊緻開拓撲中是緊緻的若且唯若它是等度連續、完全有界的閉集。
這裡， 表示從 射到的連續函式的集合。而它的子集 被稱作完全有界若且唯若
，集合
都是 中相對緊緻的子集。如果一個集合在緊緻開拓撲中是緊緻的，那么它之中的所有序列都擁有一個一致收斂到其中的子序列。
更廣泛地，對於X是緊豪斯多夫空間的情況，定理一樣成立：
設 為一個緊豪斯多夫空間，那么 的子集 在緊緻開拓撲中是緊緻的若且唯若它是等度連續、完全有界的閉集。
阿爾澤拉-阿斯科利定理是對於緊豪斯多夫空間上的連續函式的代數性質的研究中的一個重要結果。進一步的研究可以將上面的結果進行進一步的推廣。比如說，函式的取值空間可以變為豪斯多夫的拓撲向量空間，這時仍然有基本相同的定理。
證明
必要性
該定理的必要性比較顯然，實用價值也比較小。事實上，由緊度量空間X到完備的度量空間Y的任何一列連續映射序列{fn}如果在X上一致收斂，那么它收斂到一個連續映射f。由緊度量空間上連續映射f的一致連續性和收斂的一致性可以證明，該映射序列是等度連續的。同時由收斂的一致性和連續映射將緊集映為緊集的性質可以推出該序列完全有界。
若集合F中的映射不一致有界，則由定義，對任意n∈N，存在F中的映射fn，使得其範數大於n。{fn}的任意一個子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收斂，與假設矛盾。若集合F中的映射不等度連續，則存在ε>0，對任意的n∈N，存在x1、x2和某個集合中某個映射fn，滿足d(x1,x2)<1/n，但d(fn(x1),fn(x2))≥ε。這樣，{fn}的任意一個子列都不是等度連續的，從而任意子列都非一致收斂，同樣與假設矛盾。
充分性
充分性的證明用到了對角論證法。若考慮的緊度量空間X是個有限集，充分性顯然。反之，由X的緊性，存在在X中稠密的序列:E={xi}i∈N
考慮任意一組映射序列{fn}n∈N⊂F。由於F中映射完全有界，序列{fn(x1)}在Y中完全有界，根據波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理和Y的完備性，該序列擁有收斂的子列，記作{fn(x1)}。而序列{fn(x2)}又存在收斂的子列，記作{fn(x2)}......如此重複，即得到了一系列的映射序列{Gk|Gk={fn,n∈N},k∈N}。考慮其中對角元構成的序列{gn=f
由F是等度連續的映射集合，對任意ε>0，存在δ，使得對任意x,y屬於F，任意gn，只要d(x,y)<δ，就有d(gn(x),gn(y))<ε。由於序列E在X中稠密，E中存在F的有限δ-網E1={ξ1,...,ξn}。由gn在E中各點的收斂性，對每個ξi，存在Ni，使得對任意m>Ni,n>Ni都有d(gm(ξi),gn(ξi))<ε。記N=max{Ni}。
對X中每個點x，存在E1中的點ξk，使得d(x,ξk)<δ。而對於任何m>N,n>N，都有d(gm(ξk),gn(ξk))<ε，再由d(gm(ξk),gm(x))<ε，d(gn(ξk),gn(x))<ε，可知：d(gm(x),gn(x))<3ε。
由柯西審斂原理，gn這個函式序列作為fn的子序列，在X上一致收斂。
