阿基米德公理

描述

阿基米德公理（又稱阿基米德性質），是描述實數之間的大小關係的性質。它與柯西收斂準則共同描述了實數的連續性（即實數與數軸上的點一一對應）。

這個概念源於古希臘對量的理論；如大衛·希爾伯特的幾何公理，有序群、有序域和局部域的理論在現代數學中仍然起著重要的作用。

阿基米德公理可表述為如下的現代記法：對於任何實數x，存在自然數n有n>x。

在現代實分析中，這不是一個公理。它退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以阿基米德性質的叫法取而代之。

簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

這等價於說，對於任何正實數a、b，如果 a<b，則存在自然數n，有

實數的完備性蘊含了阿基米德性，證明利用了反證法：

假設對所有n，na<b（注意 na表示 n個a相加），令

，則 b為S的上界（S上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為

），於是

有

得出

也是S的一個上界，這與

是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性，但並不是完備的。

其實在歷史上，首先是一個希臘數學家“歐多克索斯”首先公布的，早於阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了這一點，但是遵從傳統，一般稱之為“阿基米德公理（性質）”。

顯然當x>y>0時，取N=1即可，故以下證明均假設y>x>0。

由於阿基米德性質與柯西收斂準則共同反映了實數的連續性，所以可以用實數的連續性公理——戴德金定理來證明二者。

其中柯西收斂準則的證明可參考相應詞條，以下只通過戴德金定理來證明阿基米德性質。

反證法：假設不存在這樣的正整數N，使Nx>y，即假設對一切正整數n，都有nx≤y。

根據上界的定義，y是數集{nx}的一個上界，這裡n=1、2、3、……。取{nx}的所有上界作為集合B，並把B在實數集R中的補集記為A，則：

①顯然y∈B，而0∈A，所以A、B都是非空數集——不空

②A∪B=R——不漏

③由取法可知，對B中的任一元素b，都有b≥nx。而因A中的元素都不是{nx}的上界，故對A中的任一元素a，在數集{nx}中存在某個數n₀x，滿足a<n₀x。因此得到結論：A中任一元素都小於B中任一元素——不亂

由戴德金定理得，存在唯一實數ξ，使ξ是A中最大值，或是B中最小值。

若ξ是B中的最小值，則根據數集B的定義，nx≤ξ。