間接最小二乘法

對某個結構方程，如果它是恰好識別的，則其待估計的結構參數可以通過簡化模型的簡化參數和參數關係式來唯一確定，因此只要求得簡化參數的估計值，再利用參數關係式，就可得到該方程結構參數的估計值。稱此估計方法為間接最小二乘法(ILS,indirect least squares)。具體步驟如下：1．寫出結構模型對應的簡化模型；2．對簡化模型中的每個簡化方程套用最小二乘法求出簡化參數的估計值；3．利用簡化參數的估計值和參數關係式解出被估計結構方程的結構參數估計值。間接最小二乘法適用於被估計的結構方程是恰好識別的，該結構方程中存在內生變數作為解釋變數，與隨機項相關，因而不能直接用最小二乘法估計參數。此外，簡化模型中的每個簡化方程都必須滿足關於隨機誤差項的假定條件，以保證簡化參數的最小二乘估計量具有無偏性和最小方差性，而且簡化方程中的多重共線性程度不能太高，否則簡化參數估計值的誤差會傳遞到結構參數的估計值上。在上述前提下，結構參數的間接最小二乘估計量具有這樣的統計性質：小樣本是有偏的，但大樣本是一致的。而對結構參數直接採用最小二乘估計會得到有偏且不一致的估計量。由於參數關係式反映了結構參數與簡化參數的非線性關係，即使得到的簡化參數具有線性、無偏性、最小方差性和一致性的估計量，也只是將一致性傳遞給結構參數的估計量，非線性關係一般不能傳遞線性、無偏性和最小方差性等統計性質。間接最小二乘法不能用於過度識別的結構方程的參數估計。

基本介紹

• 中文名：間接最小二乘法
• 外文名：indirect least squares
• 簡稱：ILS
• 所屬學科：數學（統計學）
• 相關概念：最小二乘法，內生變數等

間接最小二乘法的含義

對於恰好識別的聯立方程模型，由於結構方程可以轉化為簡化式方程，而簡化式方程中的解釋變數全是前定變數，與方程中的隨機項不相關，所以可以使用OLS法進行估計。當運用最小二乘法對簡化式方程估計後，可得到簡化式參數，然後通過簡化式參數與結構式參數的參數體系，便可由簡化式參數的估計值求解到結構式參數的估計值。因為這種方法是通過簡化式模型間接求得結構式參數的估計值，故這種參數估計方法稱為間接最小二乘法(ILS)。

間接最小二乘法的假設條件

間接最小二乘法的實施，需要滿足以下假設條件：

(1)被估計的結構方程必須是恰好識別，因為只有恰好識別，才能由簡化式參數推導出唯一的一組結構參數。

(2)每個簡化式方程的隨機擾動項都應滿足最小二乘法經典假定。

(3)前定變數之間不存在高度多重共線性。

間接最小二乘法的基本步驟

第一步，通過方程轉換得到簡化式方程。

將被估計的結構方程所包含的內生變數，表示為模型中全部前定變數和隨機項的函式，即轉換為簡化式方程。

第二步，採用最小二乘法估計簡化式參數。

由於簡化式方程滿足OLS假定，可對簡化式方程直接採用普通最小二乘法進行估計，得到簡化式參數的估計值。

第三步，根據參數關係體系，得到結構式參數。

由於結構式參數和簡化式參數之間存在非線性關係，因此簡化式參數的最小二乘估計量是無偏的，但間接最小二乘法的估計量是有偏的。同時還可以證明間接最小二乘法得到的估計量具有一致性和漸近有效性。

間接最小二乘法套用舉例

設有農產品供求模型為：

該模型中，第一個方程表示農產品的需求函式；第二個方程表示農產品的供給函式。

其中，Q表示農產品數量；P表示價格；Y表示收入；Q和P表示內生變數；Y表示外生變數。

需求方程包含了所有變數，不可識別。

對供給方程：

條件 滿足。

顯然，條件 成立。

所以，供給方程可識別，且為恰好識別。

下面以供給方程為例，介紹間接最小二乘法的套用過程。

將原模型經過轉化，化成如下簡化式方程組：

其中，

對簡化式方程分別用OLS進行估計，求出參數估計值 。

現利用收集的供求模型數據(見表1)，利用其對簡化式方程進行估計，結果如下：

根據簡化式參數和結構式參數關係(3)，間接求得估計方程的參數估計值：

最後得到供給方程為：

表1 供求模型數據表

年份	烤菸產量Q(噸)	收購價格P(元/千克)	人均國內生產總值Y(元)
1998	208.85	4.84	6835
1999	218.51	7.00	7199
2000	223.80	7.00	7902
200l	204.52	7.00	8670
2002	213.52	7.00	9450
2003	201.48	8.66	10600
2004	216.27	9.54	12400
2005	243.50	9.54	14259
2006	225.50	9.54	1 6602
2007	217.84	9.94	20337
2008	262.32	11.92	23912
2009	281.42	13.12	25963
2010	273.13	13.12	30567
2011	286.95	1 4.70	36018
201 2	312.62	17.64	39544
2013	314.85	19.40	43320

數據來源：國家統計局網站、菸草專賣局烤菸收購通知。

以上數據分析表明，間接最小二乘法只適用於結構方程恰好識別的情況。因為只有恰好識別的結構方程，才能從參數關係體系中得到唯一一組結構參數的估計量。