開方作法本源圖

開方作法本源圖(Kaifang zuofa benyuantu)中國古算名.指正整數次冪二項式的展開式的係數表,其形狀像一個等腰三角形.為北宋數學家賈憲所創,故稱其為賈憲三角形,西方稱之為帕斯卡三角形.《宋史·藝文志》錄有賈憲《黃帝九章算法細草》九卷,書已無存,但其許多內容為100多年後的楊輝輯人自撰的《詳解九章算法》之中,故又稱為楊輝三角形.楊輝此書載有“開方作法本源圖”,並指明其“出釋鎖算書,賈憲用此術”.圖中數字排列成一個三角形,其第n行恰好是二項展開式:
開方作法本源圖
圖下注文為“左裹乃積數,右裹乃隅算,中藏者皆廉,以廉乘商方,命實以除之.”前兩句系指三角形最外邊的兩列數字分別對應各次開方之積與隅算;第三句是說中間的數字分別對應開方過程中所出現的各廉;後兩句是對開方算法的概括,提示了諸廉在立成釋鎖法中的作用,開平方用第三層,開立方用第四層,依此類推(參見“開諸乘方”).賈憲還給出了該三角形的造表法,即“增乘方求廉法”或稱為“釋鎖求廉本源”,用以說明此圖與增乘開方法的關係,其中給出的構成規律相當於C}+} -C}-' +C},儘管賈憲三角形僅給出七層,實際上利用這種方法可以給出任意多層的賈憲三角形.另外,由於開方作法本源圖蘊涵著這樣的組合性質,後來又成為中國古代數學家高階等差級數與內插法研究的重要工具.

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