遞減成本

遞減成本是運籌學線性規劃靈敏度分析中的核心概念，反映目標函式中決策變數係數變化量與最優解的關係。當該值為非零正值時，表明對應變數因邊際貢獻不足而在最優解中取零值。其計算遵循"邊際利潤減去資源影子價格總和"的公式，可用於判斷最優解的穩定性：若目標係數在允許範圍內變化且遞減成本非零，則最優解不變；若存在零值時需用100%規則驗證多重最優解的存在。通過Excel敏感性報告等工具可量化分析該參數，為資源配置提供經濟性評估依據。

基本介紹

• 定義：目標函式係數變化的邊際影響值
• 別名：檢驗數/縮減成本 
• 計算公式：遞減成本=邊際利潤-∑資源影子價格
• 套用領域：生產計畫/資源分配最佳化
• 判定規則：正值變數不入最優解
• 相關概念：影子價格/鬆弛變數

定義與數學表達

遞減成本表征決策變數每增加一個單位時目標函式值的改變數，在最大化問題中體現為利潤減少幅度，最小化問題中則為成本增加程度。其數學本質為單純形法中的檢驗數，可通過單純形表直接讀取。當變數終值為零時，絕對值表示使該變數進入最優解需調整的目標係數閾值。

計算邏輯與方法

1. 基礎公式：對於變數$x_j$，其遞減成本$RC_j$可表述為：
   $$ RC_j = cj - \sum{i=1}^m a_{ij}y_i $$其中$cj$為原目標係數，$a{ij}$為約束係數矩陣元素，$y_i$為影子價格
2. Excel求解示例：
3. 藥品生產案例顯示藥品Ⅱ的遞減成本300元，單位利潤需降低超300元才具生產價值
4. Par公司案例中標準袋允許利潤波動範圍[6.3,13.5]美元，由遞減成本推導得出

套用場景分析

最優解穩定性判別

當目標係數變動幅度在"允許增量/減量"範圍內時：

• 所有非零遞減成本保持正值→最優解結構不變
• 存在零遞減成本變數→需計算變動百分比總和判定多重最優解可能性

多重最優解判別

通過檢驗非基變數遞減成本是否為零：

• 若出現零值→存在替代最優解
• 全為正數→唯一最優解

生產決策指導

• 影子價格為5元的資源每增加一單位可提升目標值5元
• 案例顯示X3變數需降低2單位成本方能進入最優解
• 章運籌學習題中x3利潤需從0.25元提升至0.333元才具生產價值

敏感性報告要素

1. 標準解讀規範：
2. 終值為零變數必帶非零遞減成本
3. 終值非零變數遞減成本恆為零
4. 允許增量/減量構成係數安全波動區間
5. 特殊情形處理：
6. 退化基解需結合靈敏度區間調整
7. 多個係數同時變動適用100%法則

理論延伸

1. 對偶關聯性：影子價格與遞減成本構成對偶問題的經濟解釋，資源稀缺性通過遞減成本影響變數取捨
2. 算法實現：LINGO等工具輸出的敏感性報告中，遞減成本與鬆弛變數共同構成解的經濟性評價體系
3. 歷史演進：自1947年單純形法提出後，遞減成本作為靈敏度分析工具被納入主流運籌學教材