達西定律

達西定律（Darcy's law）描述飽和土中水的滲流速度與水力坡降之間的線性關係的規律，又稱線性滲流定律。1856年由法國工程師H.P.G.達西通過實驗總結得到。1852-1855年，達西進行了水通過飽和砂的實驗研究，發現了滲流量Q與上下游水頭差（h2- h1）和垂直於水流方向的截面積A成正比，而與滲流長度L成反比，即：Q=K*A*（h2-h1）/L。

基本介紹

• 中文名：達西定律
• 外文名：Darcy’s Law
• 得出者：達西
• 表達式：Q=KA（h2-h1）/L
• 適用範圍：砂土、一般粘土 
• 得出時間：1856年

達西定律

Darcy’s Law

式中Q為單位時間滲流量，F為過水斷面，h為總水頭損失，L為滲流路徑長度，I=h/L為水力坡度，K為滲透係數。關係式表明，水在單位時間內通過多孔介質的滲流量與滲流路徑長度成反比，與過水斷面面積和總水頭損失成正比。從水力學已知，通過某一斷面的流量Q等於流速v與過水斷面F的乘積，即Q=Fv。據此，達西定律也可以用另一種形式表達

v=KJ

v為滲流速度。上式表明， 滲流速度與水力坡度一次方成正比。說明水力坡度與滲流速度呈線性關係，故又稱線性滲流定律。達西定律適用的上限有兩種看法：一種認為達西定律適用於地下水的層流運動；另一種認為並非所有地下水層流運動都能用達西定律來表述，有些地下水層流運動的情況偏離達西定律，達西定律的適應範圍比層流範圍小。

這個定律說明水通過多孔介質的速度同水力梯度的大小及介質的滲透性能成正比。

這種關係可用下列方程式表示：V=K[（h2－h1）÷L]。

其中V 代表水的流速，K 代表滲透力的量度(單位與流速相同, 即長度/時間)，（h2－h1）÷L 代表地下水水位的坡度（即水力梯度）。因為摩擦的關係，地下水的運動比地表水緩慢得多。可以利用在井中投放鹽或染料，測定滲流係數和到達另一井內所需的時間。

在美國佛羅里達的含水層中，曾沿著多口水井，採用碳14 方法測定地下水的年齡。結果測出滲流係數為每年7 米。在滲透性能良好的介質中，滲流係數可高達每日6 米。美國還測得過每日235 米的紀錄。不過，在許多地方，速率通常是每年不超過30 米。

公式推導

簡介

達西定律是滲流中最基本的定律, 其形式簡潔( v= kJ ), 最早是由實驗證實的。它清楚地表明了滲流速度v與水力坡降J 成正比的關係。但這裡只是籠統地用k 體現不同材料的不同的滲透性。為了更細緻地認識和控制特定滲流就必須清楚k 與哪些因素有關。

達西定律的理論推導

達西定律可以從多孔介質中層流運動所遭遇的阻力關係推導出來。

圖1為沿流線方向s取得單元微分體, 長為ds, 斷面積為dA;作用在單元柱體上的力有: 兩端的孔隙水壓力, 孔隙水流的自重及水流受到顆粒孔隙道的摩阻力F。沿土柱方向寫滲流的三力平衡式(略去水流的慣性力)

圖1 滲透水體的受力

pndA - ( p+ dp ) ndA - γndsdA sinθ- F = 0

因為 dz/ds= sinθ, h =p/γ+ z , dp= �γ( dh - dz )

代入上式則得

γndA dh + F = 0 ( 1)引用司托克斯對於一個顆粒上的層流阻力的公式D=3πμdν' , 式中D 常被稱為拖引力; d 為顆粒直徑; v'為顆粒周圍沿滲流方向的局部平均流速; !為水的動力粘滯性; ∀為一個係數,決定於鄰近顆粒的影響(對於無限水體中的圓球∀= 3π )。若土柱中土顆粒數為N, 並引用一個球體系數β(圓球時β=π/6), 則總阻力應為

􀀁 􀀁 􀀁 􀀁 F = DN [( 1- n ) dA ds]/[βd3] ∀μdv�''''' '( 2)

將( 2)式代入( 1)並考慮到斷面上平均流速v= nv'�''及滲流坡降J= -dh/ds, 則得v=[βn2]/[∀( 1- n )]d2 γ/μ J, 令C=[βn2]/∀( 1- n ), 再令達西滲透係數k= Cd2 γ/μ, 即得達西定律表達式v= kJ。

滲透係數的決定因素

由以上推導可知, 達西定律描述了滲透流速與水頭損失率成正比的關係。同時還可知滲透係數(k= Cd2 γ/μ)只取決於滲流材料系統自身的特性(Cd2)和流體自身特性(γ/μ)兩種因素; 前者只與多孔介質的組成結構有關, 是唯一能夠改變的內容。

既然滲透係數k 具有流速的尺度, 並決定於多孔介質的結構和流體的性質。因此在分析和控制滲流時即可從此去尋求方案。

相關信息

地下水在土體孔隙中滲透時，由於滲透阻力的作用，沿程必然伴隨著能量的損失。為了揭示水在土體中的滲透規律，法國工程師達西(H.darcy)經過大量的試驗研究，1856年總結得出滲透能量損失與滲流速度之間的相互關係即為達西定律。

達西實驗的裝置如圖1所示。裝置中的①是橫截面積為A的直立圓筒，其上端開口，在圓筒側壁裝有兩支相距為l 的側壓管。筒底以上一定距離處裝一濾板②，濾板上填放顆粒均勻的砂土。水由上端注入圓筒，多餘的水從溢水管③溢出，使筒內的水位維持一個恆定值。滲透過砂層的水從短水管④流入量杯⑤中，並以此來計算滲流量q。設△t時間內流入量杯的水體體積為△V, 則滲流量為q=△V /△t 。同時讀取斷面1-1和段面2-2處的側壓管水頭值h1，h2，Δh為兩斷面之間的水頭損失。

圖1 達西滲透實驗裝置圖

達西分析了大量實驗資料，發現土中滲透的滲流量q與圓筒斷面積A及水頭損失△h 成正比，與斷面間距l 成反比，即

式中i=△h/l，稱為水力梯度，也稱水力坡降；k為滲透係數，其值等於水力梯度為1時水的滲透速度，cm/s 。

式（1-1）和（1-2）所表示的關係稱為達西定律，它是滲透的基本定律。

適用範圍

達西定律是由砂質土體實驗得到的，後來推廣套用於其他土體如粘土和具有細裂隙的岩石等。進一步的研究表明，在某些條件下，滲透並不一定符合達西定律，因此在實際工作中我們還要注意達西定律的適用範圍。

大量試驗表明，當滲透速度較小時，滲透的沿程水頭損失與流速的一次方成正比。在一般情況下，砂土、粘土中的滲透速度很小，其滲流可以看作是一種水流流線互相平行的流動——層流，滲流運動規律符合達西定律，滲透速度v與水力梯度i的關係可在v-i坐標系中表示成一條直線，如圖2(a)所示。粗顆粒土（如礫、卵石等）的試驗結果如圖2(b)所示, 由於其孔隙很大，當水力梯度較小時，流速不大，滲流可認為是層流, v-i關係成線性變化，達西定律仍然適用。當水力梯度較大時，流速增大，滲流將過渡為不規則的相互混雜的流動形式——紊流,這時v-i關係呈非線性變化, 達西定律不再適用。

①砂土、一般粘土 ②顆粒極細的粘土

圖2(a) 細粒土的v-i關係

圖2(b) 粗粒土的v-i關係

少數粘土（如顆粒極細的高壓縮性土，可自由膨脹的粘性土等）的滲透試驗表明，它們的滲透存在一個起始水力梯度ib，這種土只有在達到起始水力梯度後才能發生滲透。這類土在發生滲透後，其滲透速度仍可近似的用直線表示,即v=k(i－ib)，如圖2(a)中曲線②所示。

低滲、特低滲、超低滲緻密油藏內的滲流本構關係由“研神齊成偉”的冪比方程描述，見圖3。

圖3 緻密油藏非線性滲流冪比方程