過分函式(excessive function)是現代馬爾可夫過程理論的重要概念。過分函式與古典位勢理論中的上調和函式有著十分密切的聯繫，在布朗運動過程情形下，非負上調和函式就是過分函式。它是研究亨特過程的一個基本工具。
基本介紹
- 中文名：過分函式
- 外文名：excessive function
- 領域：數學
- 理論：現代馬爾可夫過程理論
- 相關函式：古典位勢理論中的上調和函式
- 意義：研究亨特過程的工具
概念,強馬爾可夫過程,隨機過程,調和函式,亨特過程,
概念
過分函式(excessive function)是現代馬爾可夫過程理論的重要概念。設{Tt}t∈R+為齊次馬爾可夫過程{X(t)，t≥0}的轉移半群，(E，E)為其相空間，對於f∈E，0≤f<+∞，當α=0時，0過分函式簡稱過分函式。如果對α>0，有：
1.ᗄt≥0，ᗄx∈E， f(x)≥eTtf(x)；
2.f=lim eTtf；
則稱f為關於半群{Tt}的α過分函式。
過分函式與古典位勢理論中的上調和函式有著十分密切的聯繫，在布朗運動過程情形下，非負上調和函式就是過分函式。它是研究亨特過程的一個基本工具。
強馬爾可夫過程
指這樣一種隨機過程，在已知它目前狀態(現在)條件下，它未來的演變(將來)不依賴於它以往的演變(過去)。這種已知“現在”的條件下，“將來”與“過去”無關的特性稱為馬爾可夫性。其中，“現在”是指固定時刻。但實際問題中常需將馬爾可夫性中的“現在”這個時刻概念推廣為停時。直觀上講，停時是描述某種隨機現象發生的時刻，它是普通時間變數的隨機化。例如，考察從圓心出發的平面上的布朗運動，要研究首次到達圓周的時刻t以前的事件和以後的事件的條件獨立性，這裡的t就是停時，並認為t是“現在”。這種把“現在”推廣為停時情形的“現在”，且在已知“現在”的條件下，“將來”與“過去”無關的特性被稱為強馬爾可夫性。具有此性質的馬爾可夫過程稱為強馬爾可夫過程。以前，許多人認為馬爾可夫過程必然是強馬爾可夫過程。直到1956年，才有人找到馬爾可夫過程不是強馬爾可夫過程的例子。馬爾可夫過程理論的進一步發展表明，強馬爾可夫過程才是馬爾可夫過程的真正研究對象。
隨機過程
隨時間推進的隨機現象的數學抽象。設(Ω，ℱ，P)為機率空間，T為指標t的集合，如果對每個t∈T，有定義在Ω上的實隨機變數X(t)與之對應，就稱隨機變數族X={X(t)，t∈T}為一隨機過程。
人們對一些特殊的隨機過程早有研究。1907年前後，俄國數學家馬爾可夫提出並研究一種能用數學分析方法研究自然過程的一般圖式，後人稱這種圖式為馬爾可夫鏈。1923年，美國數學家N.維納從數學上定義了布朗運動，後來也稱數學上的布朗運動為維納過程。這種過程至今仍是隨機過程的重要研究對象。通常認為，隨機過程一般理論的研究於20世紀30年代才開始。1931年，原蘇聯數學家柯爾莫戈羅夫發表了《機率論的解析方法》;1934年，辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程和平穩過程奠定了理論基礎。稍後，法國數學家萊維從樣本函式角度研究隨機過程，引進一般可加過程並研究了它的樣本函式結構，他出版的關於布朗運動與可加過程的兩本書中蘊含著豐富的機率思想。1953年，美國數學家J.L.杜布出版的著作《隨機過程論》中系統且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。他的工作推動了鞅理論的發展。1953年日本數學家伊藤清建立了關於布朗運動的隨機微分方程的理論，定義了對布朗運動的一種隨機積分——伊藤積分，為研究馬爾可夫過程開闢了新的道路。近年來由於鞅論的進展，人們討論了關於半鞅的隨機微分方程，而流形上的隨機微分方程理論正方興未艾。20世紀60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面都做出了較好的工作。
調和函式
稱定義在R的開集U上的復值函式f是調和的，如果它在U上二次連續可微，且它經拉普拉斯運算元作用後為零：Δf=0。
可以證明，U上的分布T滿足ΔT=0，則T是解析且調和的函式。為使在U上局部可積的函式f是調和的，必須且只須對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球含於U中的正實數α，f(a)等於f在球B上的平均值。或等於f在以a為中心、α為半徑的球面上的平均值。由此容易推出： 定義在連通開集U上、使 |f|在U的一點達到其極大值的調和函式是常值函式(極大值原理)。
C之開集U上的所有全純函式是調和的，它們的實部與虛部也是調和的。反之，如果U是C的單連通開集，則對任一實值調和函式f，存在U上的全純函式g，使Re(g)=f。
極大值原理可推廣到稱為次調和函式的更一般的函式類；這是一些定義在U上、在[-∞，+∞[中取值的上半連續函式，而對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球B含在U中的正實數α，f(a)小於f在B上的平均值。
R的開區間上的次調和實值函式正好是這一區間上的凸函式。
對C之開集U上的任一全純函式f，函式log|f|是次調和的。因而C之開集U上的次調和函式的研究能套用於全純函式的研究。將這種方法推廣於研究Cn之開集U上的全純函式情況，導致引入一個函式類，稱為多元次調和函式類；這是一些定義在U上，在[-∞，+∞[中取值的上半連續函式，且對C的任一直線D，f在D∪U上的限制是次調和函式。
亨特過程
亨特過程是一類滿足某些連續性條件的強馬爾可夫過程。如果下列三個條件成立：
1.它是右連續的；
2.它具有強馬爾可夫性；
3.它是擬左連續的，即對任一列上升趨於停時T的停時{Tn}，有limX(Tn)=X(T) a.s.在{T<+∞}上；
則齊次馬爾可夫過程{X(t)，t∈R+}稱為亨特過程。
