逐項微分

基本介紹

逐項微分是微積分術語，即函式列(級數)各項先求導數後求極限與極限(和)的導數相等，對函式列(級數)的每一項求導數，使所得到的序列(級數)收斂於原序列(級數)的極限(和)的導數，即

逐項微分有如下定理：若在區間

上

一致收斂，且

在

的某個點收斂，則

在

上一致收斂且可逐項微分，當

換成開集或任意區間

時，第一個條件可換成在

的任何閉子區間上一致收斂。特別地，冪級數在其收斂區間上可逐項微分任意次，並且每次得到的級數的收斂半徑均相等。

富比尼逐項微分定理(Fubini term by term differential theorem)是有關級數逐項微分的定理，若

是區間

上一列不減(或不增)的函式，使得

在

上處處存在且有限，則

於

這是由富比尼(G.Fubini，)於1915年得到的，此定理中的

的條件明顯可改為增函式之和，但不可改為增函式之差(有界變差函式)。

傅立葉級數的逐項微分(term by term differentiation for Fourier series)是傅立葉級數的一種運算。若

是以

為周期的連續函式且除有限個點外可微，又導函式

在

上可積，則

的傅立葉級數可由

的傅立葉級數逐項微分得到，即若

則

若

分段可微，則逐項微分後的級數收斂，且