迪尼定理

迪尼定理是一個分析方向的數學定理，提出者是烏利塞·迪尼。

基本介紹

• 中文名：迪尼定理
• 外文名：Dini theorem
• 提出者：烏利塞·迪尼
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：函式
• 適用領域範圍：數學

定理定義

在數學中，迪尼定理敘述如下：設 X 是一個緊緻的度量空間，是 X 上的一個單調遞增的連續實值函式列，即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有

如果這個函式列逐點收斂到一個連續的函式，那么這個函式列一致收斂到。這個定理以義大利數學家烏利塞·迪尼命名。
對於單調遞減的函式列，定理同樣成立。這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一，原因是由單調性這個更強的條件。
注意定理中的一定要是連續的，否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函式列 {}。這是一個單調遞減函式，逐點收斂到函式：當時

等於0，等於1。但這個函式列不是一致收斂的，因為不連續。

驗證推導

我們對單調遞增的函式列作證明：對於任意ε>0 ，對每個 n ，設

再設為使得

其中

顯然每個都連續，於是每個都是開集（在拓撲空間中，連續函式被定義為使得開集的原像都是開集的函式，可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的，而[0, ε）是正實數集中的開集。函式列{} 是單調遞減的，因此是的子集。又由於逐點收斂到 f ，所有（） 的並集是 X 的一個開覆蓋。但是 X是一個緊集於是存在正整數 N 使得。因此對所有，對所有的，都有

於是{} 一致收斂於。