超乘方

超乘方是比乘方跟進一級的運算，

可以用來表示更大的數。

a ^ a ^ a表示a^(a^a)

基本介紹

• 中文名：超級冪
• 別稱：超乘方
• 表達式：a^(a^a)
• 提出者：Goodstein 
• 提出時間：1947 年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：大眾科普無實用

運算法則

“超乘方運算的運算法則是什麼？

對於任意兩個正整數的超乘方運算，可將被超乘方數和超乘方數分別用加法、乘法、或乘方進行儘可能的最佳化分解；然後利用二項式定理展開運算，再將所有結果相加、相乘、或相乘方，既得要求的超乘方冪。這就是超乘方運算的運算法則。超乘方”即在一個乘方頭上還有一個乘方，如右圖，就是一個超乘方。

一個數的平方是a乘a 叫做a的2次方

而一個數的超乘方是a乘（a乘a） 叫做a的3級超乘方 見下文

實際套用

引用 ——文章（比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什麼？）

國小時，老師說，由於生活中經常需要把同一個數加很多很多次，因此人們發明了乘法。 a × b 就表示 b 個 a 相加。國中時，老師說，由於生活中經常需要把同一個數乘很多很多次，因此人們發明了乘方。 a ^ b 就表示 b 個 a 相乘。令人失望的是，到了高中時，我們並沒有學到更牛 B 的運算符號；大學都快學完了，似乎也沒見到乘方升級的苗頭。乘方之上究竟是什麼？下面，有請今天的主角——超級冪——登場！

很容易想到，比乘方更大一級的運算就是把 b 個 “a 次方” 重疊起來。不過，這裡我們卻遇到了一個之前不曾遇到的問題： a ^ a ^ a 究竟應該等於 (a ^ a) ^ a ，還是 a ^ (a ^ a) ？。我們不妨來算一算，不同算法得到的結果相差多遠：

(2 ^ 2) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16
2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 4 = 16

難道兩種不同的計算順序，得到的結果總是相同的嗎？讓我們換 a = 3 試試：

(3 ^ 3) ^ 3 = 27 ^ 3 = 19683
3 ^ (3 ^ 3) = 3 ^ 27 = 7625597484987

哇，這下可就差遠了。可以想像，如果把 “a 次方” 再多疊代幾次，從右往左算和從左往右算會差得更多。恐怖的是，當有多重指數時，運算正是按照從右往左算的順序進行的。試想，若有一種運算專門用來表示 b 個 a 構成的指數塔，這種運算的威力會多大。

1947 年，數學家 Goodstein 發現，不管初始時選取哪個自然數，按照某種預先定義好的規則進行疊代，數列最終將變成 0 。但是，數列收斂到 0 的速度極其緩慢，以至於 Goodstein 需要處理一些連乘方也無法表達出來的大數。於是， Goodstein 便正式提出了這種超越乘方的運算。他把 b 個指數 a 疊代的結果記為ba ，也就是把 b 放在 a 的左上角。在國外的一些論壇上，有時也能看見 a^^b 的表示方法，便於在純文本格式下的傳播。不過，當時 Goodstein 並沒有用超級冪 (superexponentiation) 一詞，而是用的 tetration 一詞。這是由前綴“四” (tetra-) 和疊代 (iteration) 一詞合成的，意即排在加法、乘法、乘方之後的第四級運算。事實上， tetration 比 superexponentiation 更常用一些。網上甚至有一個tetration 論壇，論壇里活躍著一群熱愛 tetration 的數學 geek 。

超級冪是一個極為厲害的運算，它的增長速度非常驚人。在很小的數之間進行超級冪運算，就有可能得到一個巨大的天文數字。32 等於 2 ^ (2 ^ 2) = 16 ，而42 就等於 2 ^ (2 ^ (2 ^ 2)) = 65536 。那么，52 等於多少呢？它應當等於 2 的 65536 次方，其結果是一個上萬位的數。那62 呢？100100 呢？大家自己去想像吧。

我們能輕鬆定義出超級冪的概念，但為什麼這個東西卻如此“小眾”呢？當然，超級冪缺乏很多加減乘除和乘方運算具有的性質，這是一個重要的原因；不過，我想應該還有一個最基本的原因吧——超級冪本身沒有什麼實用價值。重複對摺紙張、增長率的疊加、賭博遊戲中的翻番，它們都可以用乘方來描述。實際生活中有什麼事情正好能用超級冪來描述的嗎？我想應該不會有吧。

人類的想像力是無止境的。即使超級冪已經大到無法用言語描述的地步，大家還是會問，再把 “a 次超級冪” 疊代 b 層（注意運算順序仍是從最深那一層開始），又會得到什麼？是否就得到了第五級的運算呢？或許你馬上就意識到了，這樣擴展上去是沒有盡頭的，每一級運算疊代之後都能產生更高一級的運算。雖然此時腦子已經有點亂了，但是數學語言的嚴格性和理想性告訴我們，利用某種清晰的數學符號和遞歸法則，我們一定有辦法定義出等級越來越高的運算來。
Goodstein 牛就牛在這兒。他定義了 Goodstein 記號 G(n, a, b) ，來表示 a 與 b 之間的第 n 級運算。當 n = 0 時，規定 G(0, a, b) = b + 1 。也就是說，第零級運算是一個一元運算——自然數的後繼。當 n = 1 時，規定邊界值 G(1, a, 0) = a ，並規定 G(1, a, b) 表示對 G(1, a, 0) 的值進行上一級操作（後繼操作），並重複疊代 b 次，其結果也就是 a 加上 b 。⼀般地，有:

G(n, a, b) = G(n – 1, a, G(n, a, b – 1))

其中邊界值為

G(1, a, 0) = a
G(2, a, 0) = 0
G(3, a, 0) = 1
G(4, a, 0) = 1
G(5, a, 0) = 1
…

這就形式化地給出了第 n 級運算的意思。

類似的東西不止一次地被提出過。兩年前給大家介紹過世界上最大的數，當時就用到了 Knuth 箭頭記號。這也是一種表示大數的方法，其思想與 Goodstein 記號幾乎完全一樣。 Ackermann 函式也是一個神速增長的函式，它的定義也有異曲同工之處。很多外文數學論壇則用 a [n] b 來表示 a 與 b 之間的第 n 級運算，是我比較喜歡的一種符號。

當然，有 a [n] b ，必然會有 a [a [n] b] b ，從而又會有 a [a [a [n] b] b] b ⋯⋯沒有最大的數，只有更大的數。人腦和數學是兩個神奇的東西，沒有什麼數大到人腦想不出來，也沒有什麼數大到數學表示不出來。僅僅在腦中試想一下 100 [100] 100 ，你的思想就已經超越了整個宇宙的大小了。