變態圓

變態圓（Abnormal circle）是一種特殊的圓，指半徑為零和無限長的圓，將點和直線分別看做半徑為零及半徑為無限長的圓，這兩種圓稱為變態圓。點作為變態圓時又稱為點圓。

基本介紹

• 中文名：變態圓
• 外文名：Abnormal circle
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（圓）

變態圓方程

以 表示笛卡爾直角坐標，那么圓的方程可表為：

如果用齊次坐標，以 代入上式，就得到

這是在齊次坐標下的圓的方程。當 時，(1)式變為 ，這表示兩條直線 和無窮遠直線t=0，所以當 時，圓分解為兩條直線，其中一條是無窮遠直線， 我們把這兩條直線所組成的二階曲線叫做變態圓。

二階曲線的射影定義是兩個射影線束對應直線交點的全體。當這兩個射影線束是透視線束時，對應直線交點的全體稱變態二階曲線。聯接兩線束中心的直線是自對應直線，所以這聯線上任意一點都可以看作是交點。這樣，變態二階曲線是兩直線或者是兩點列，其中一條是兩線束中心聯線， 另一條就是對應直線交點所在直線。變態圓是變態二階曲線，以 為射影齊次坐標，變態圓所在的兩條相交直線為

與

上。

首先，我們看兩線束中心在直線 上的情況。兩線束直線分別以 與 表示。因為對應直線的交點在直線 ，所以必然有 對應直線斜率相等，即 。

定義 在平面的直角坐標系裡，兩虛點(1,i,0)和(1，-i，0)叫做圓點，分別以I,J表示。

相關定理

定理1兩線束 與 ，當 為對應直線時，兩線束成透視對應，對應直線交點的全體構成變態圓。

定理2 兩線束 與 (其中 為確定的數且 )，當 (a為非零常數)為對應直線時，兩線束成透視對應，對應直線交點的全體構成變態圓。

定理3 二階曲線成為圓(常態圓或變態圓)的充要條件是它通過兩個圓點I和J。

變態圓的射影定義

變態圓為兩線束 與 當兩線束中心在直線 上，以 為對應直線交點的全體；當兩線束中心都不在直線上，以 為對應直線交點的全體。