表示函子

表示函子(representative functor)是範疇論里的概念，指從任意範疇到集合範疇的一種特殊函子。這種函子將抽象的範疇表達成人們熟知的結構（即集合與函式），從而使得對集合範疇的了解可以儘可能套用到其它環境中。

從另外一個角度看，範疇的表示函子是隨範疇而生的。因此，可表函子理論可以視作偏序集合理論中的上閉集合以及群論中的凱萊定理的極大的推廣。

基本介紹

• 中文名：表示函子
• 外文名：representation functor
• 學科：數學
• 領域：範疇論
• 別稱：可表函子

定義

設 為局部小範疇，並記集合範疇為 。對 中的每個對象 以 指代將對象 映到集合 的Hom函子。

函子 是可表的當存在某個 中的對象 使得 自然同構於 。而滿足

為自然同構的對 則稱為 的一個表示，即表示函子。

從 到 的反變函子 不過是（協變）函子 ，常被稱作預層。與協變的情況相似，預層是可表的當它自然同構與某個反變的Hom函子 ，其中 是 中的某個對象。

泛元素

根據米田引理，從 到 的自然變換與集合 一一對應。給定自然變換 ，與之對應的元素 由

給出。反之，給定元素 ，可以如下定義自然變換

其中 是 中的任意元素。為了得到 的表示，我們需要確定 誘導的自然變換何時會是同構。這引導出如下定義：

函子 的泛元素是由 中的對象 與 中的元素 組成的一對 ，使得對於任意滿足 的對 ，都存在唯一映射 使得 。

泛元素還可看作從單點集合 到函子 的泛態射，又或者看作 的元素範疇中的始對象。

這樣，由元素 誘導的自然變換是自然同構若且唯若 是 的泛元素。由此可以得出 的表示與 的泛元素之間的一一對應。為此，泛元素 常常也被稱為表示。

性質

1.唯一性

函子的表示在同構的意義下唯一。換言之，如果 與 表示同一個函子，那么存在唯一的同構 使得

作為從 到 自然同構相等。這一事實可由米田引理簡單得出。

用泛元素的語言表述如下：如果 與 表示同一個函子，那么存在唯一的同構 使得

2.保極限性

表示函子自然同構於Hom函子，因而享有許多後者的性質。尤其值得注意的是，（協變）表示函子保持所有極限。由此可得，未能保持某些極限的函子都不是可表的。

相似地，反變可表函子把余極限映到極限。

3.左伴隨

如果函子 帶有左伴隨 ，那么它就可由 表示；這裡 是某個單元素集合，而 是伴隨的單位。

反之，如果 由對 表示，且 的任意上冪在 中都存在，那么 擁有左伴隨 ，後者將任意集合 映到 的 次上冪。

所以，如果 是帶所有上冪的範疇，則函子 是可表的若且唯若它擁有左伴隨。