蛇引理

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。

基本介紹

• 中文名：蛇引理
• 外文名：Snake lemma
• 分類：同調代數
• 領域：數理科學

敘述

考慮一阿貝爾範疇（例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖：

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫的核與上核的正合序列：

此外，若是單射，則亦然；若'是滿射，則亦然。

引蛇出洞

為了理解蛇引理的由來，觀察下圖：

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

構造連線同態

核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連線同態及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態可如是構造：

選定，並視之為的元素；由於是滿射，存在滿足。由圖的交換性，我們有

（因為）

於是。由於底部的橫列正合，存在使得。置。今須驗證是明確定義的，即不依賴之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證，即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形，可利用核與上核的泛性；此外也能使用Mitchell嵌入定理，此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環的 -模範疇。

函子性

在套用上，我們常常需要長正合列的“函子性”或曰“自然性”（就自然變換意義言之）；各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。

設交換圖

的橫列均為正合，則可利用蛇引理兩次，一次在“前”一次在“後”，產生兩條長正合序列；它們經由以下交換圖相連繫：