自由邊界問題

一個偏微分方程的定解問題，若其定解區域的部分邊界是待定的，它和定解問題的解彼此相關且必須同時確定。這類定解問題，人們稱之為自由邊界問題，其待定邊界稱為自由邊界。所有自由邊界問題都是非線性問題。

自由邊界問題的研究有著廣泛的實際背景。在滲流力學、等離子物理、塑性力學、射流等方面都提出了各種不同形式的定常和不定常自由邊界問題。

基本介紹

• 中文名：自由邊界問題 
• 外文名：free boundary problem
• 適用範圍：數理科學

問題類型

對於一個偏微分方程的定解問題，如果所求區域的邊界（部分或全部）不是事先給定的，而是與解有關，即在求解過程中與解同時決定，則稱作用的定解問題為自由邊界問題，其待定邊界稱為自由邊界。在自由邊界上，與通常的定解條件給法相比較，一般還要增加一個邊界條件。所有自由邊界問題都是非線性問題。

典例

自由邊界問題的一個典型例子是描述凍結過程的熱傳導問題。

另一個例子是緊繃在已知障礙上的膜平衡問題。記

其中， g 是已知障礙，f(x，y)是垂直方向的外力，u 是膜在垂直方向的位移。由最小位能原理知 ，並且 。集合 稱為分離集，它的邊界是自由邊界。在這個自由邊界上，u 滿足邊界條件 。

自由邊界問題的研究有廣泛的實際背景。除了上述兩類自由邊界問題以外，在激波、滲流力學、等離子物理、塑性力學、射流等方面，都提出了各種不同形式的定常和不定常自由邊界問題。自由邊界問題的研究內容包括解的存在性、唯 一性、正則性以及自由邊界的正則性等。