自交數

閉折線邊之間的交點個數，稱為自交數，但計算自交數時，k條邊相交的點算C_k²個，每條具體的閉折線Z_n都有一個確定的自交數θ(Z_n)，但反之不然：對於一個給定的正整數k，可能有幾個Z_n，使θ(Z_n)=k，也可能不存在這樣的Z_n。由此，θ(Z_n)的最小值為0。在1992和1995年楊林和王方漢完成了尋求和證明θ(Z_n)最大值的工作。

基本介紹

• 中文名：自交數
• 外文名：self intersection number
• 定義：閉折線邊之間的交點個數
• 所屬學科：數學（幾何學）
• 相關人物：楊林和王方漢

定義

閉折線邊之間的交點稱為自交點。自交點的個數稱為自交數。

計算自交點，兩邊相交的算1個，三邊相交的算3個，……，k邊相交的算個，n邊閉折線自交數記為。

自交數的最大值

如或1，在圖1中，我們畫出了分別具有自交數或5，或7的一個圖形。

圖1（a）n=5

圖1 （b）n=6

從中可以看出，0是的最小值(因多邊形無自交點)；的最大值是5，相應的圖形是星形，而的圖形沒有畫出；的最大值為7，相應的圖形類似於6角星(但有兩條雙摺邊)。那么，的最大值是什麼呢?

我們知道，n邊閉折線每條邊最多同其他條邊相交(因同它自身和兩鄰邊不會相交)，因此自交點最多有個，就是必有

當n為奇數時，可以達到；

當n為偶數時，最大值為。

定理1 n邊閉折線的最大自交數

證明：事實上，當時，只需構造以正n邊形最長的對角線為邊的正n角星即可，如圖2，在兩側，各有正n邊形的個頂點：對來說，其右側還多了一個頂點這樣，就可以連出對最長的對角線(每條同有一個交點)：。因此，共有個交點，考慮所有對角線(總共條)又每個交點算了兩次，因此，交點總數是

圖2

圖3（a）

圖3（b）

對，可用如圖3所示的閉折線(圖中以n=10和12為例)，它頂點排列是很有規律的：奇數頂點在上，偶數頂點在下；“星形”是中心對稱的。它有兩條對摺邊和各與條對角線相交；其餘條單折邊各與條對角線相交，而每個交點都被算了兩次，因而交點的總個數為

綜合（2）、（3），即得（1）。

如套用調節號把(1)的兩式合併，即得：

定理2 n邊閉折線的最大自交數