羅巴切夫斯基函式

羅巴切夫斯基函式(Lobachevskian function)簡稱羅氏函式，羅氏幾何中的重要函式關係。在羅氏平面上，若∠BAP是線段AB的平行角，d(AB)=x，μ(∠BAP)=α，則函式：α=π(x)稱為羅巴切夫斯基函式。羅巴切夫斯基函式是嚴格單調遞減的連續函式。這個函式可以用初等函式表示如下：π(x)=2arccot e^x/ρ，其中ρ為曲率半徑。

基本介紹

• 中文名：羅巴切夫斯基函式
• 外文名：Lobachevskian function
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(非歐幾里得幾何)
• 簡稱：羅氏函式
• 簡介：羅氏幾何中的重要函式關係

定義

設∠CAP為線段AC的平行角，平行距AC的長度d(AC)=x，平行角∠CAP的度數μ(∠CAP)=α，則函式α=π(x)稱為羅巴切夫斯基函數，簡稱羅氏函式。

定理及推論

定理1 羅氏函式α=π(x)是單值函式。

定理2 羅氏函式α=π(x)是嚴格單調遞減函式。

定理3 每個銳角都是某個平行距的平行角。

推論 在每個角的內部，恰有一條直線於不同方向平行於角的兩個邊所在的直線(圖1)。

圖1

相關性質及概念

平行角是羅巴切夫斯基幾何學中一種角的概念，若在通過點A且不與直線a相交的直線集合里，直線a₁和a₂是界線直線，則稱它們為直線a的平行線。

圖2

兩直線a，b，若a//b，A是直線a上任一點，由點A引直線b的垂線AB，垂足為B，則距離AB=x稱為平行距離；把直線AB和直線a所成的銳角ω稱為平行角(如圖2)。

羅巴切夫斯基函式指平行角ω是其平行距離x的單值函式(參見平行角圖)，記作α=π(x)。

可以證明羅巴切夫斯基函式有下面的性質：

①任何一個小於π/2的數，都可以當作平行角α，即一定存線上段x，使得π(x)=α；

②當x在(0，∞)區間變動時，α由π/2到0單調遞減，而且這個函式是連續的，即當x→∞時，α→0；當x→0時，α→π/2。

由此可見，在無限小的區域內，羅氏幾何與歐氏幾何區別不大。