純不可分元

純不可分元(purely inseparable element)是代數擴域中的一種特殊元，設域F的特徵p>0，K/F是代數擴張，α∈K稱為F上的純不可分元是指α在F上的最小多項式為純不可分多項式。對於代數擴張K/F，K中所有在F上為純不可分元的元素全體是K的一個包含F的子域，這個子域稱為F在K中的純不可分閉包。

基本介紹

• 中文名：純不可分元
• 外文名：purely inseparable element
• 屬性：代數擴域中的一種特殊元
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：域論與伽羅瓦理論(域的擴張)
• 相關概念：不可分元，純不可分多項式等

定義

F是域， 中多項式 如果沒有重根，則稱 為可分多項式，否則為不可分多項式。K是F的擴域， ， 稱為F的可分元，如果 是F的代數元， 滿足的 中既約多項式沒有重根。若F的代數元 滿足的 中既約多項式有重根，則 稱為F的不可分元。若F的代數元 滿足的 中不可約多項式為 則稱 為F的純不可分元。

相關性質與概念

下面是關於可分元與純不可分元的重要判定法。

設是特徵為的域：

(i)一擴張域的代數元是上的可分元若且唯若；

(ii)若是純不可分元，則其最小多項式有形式；反之，若滿足作形的方程，則是上的純不可分元。

可分多項式與可分元

設F為域，稱 中多項式 是F上的可分多項式，如果它在 中的任一不可約因子都無重根(允許 有重根）。否則，稱 是F上的不可分多項式，其直觀含義是，有重根的不可約多項式的重根粘在一起了無法分離，必須注意，可分概念與其係數域密切相關，不可約性是對係數域而言的，有時為敘述簡潔起見，稱 是F[x]中的可分多項式，指的是 ，且 是F上的可分多項式，易見，任一無重根的不可約多項式必是可分多項式，不可分多項式的任一倍式必是不可分多項式。F上的代數元 稱為F上的可分元，如果 在F上的最小多項式 （它必為F上的不可約多項式）無重根，否則，稱 是F上的不可分元，此時， 必是 的 重根，k是 關於F的指數，易見，任一 必是F上可分元，若 是F上的某一個可分多項式 的根，則 必是 的某個不可約因子 的根，且 就是 在F上的最小多項式， 無重根，所以 必是F上的可分元，因此，F上的可分多項式的根必是F上的可分元，但是，若 是F上的不可分多項式，這僅僅是說，存在 的某個不可約因子 有重根，因為 的根未必是這個因子 的根，所以F上的不可分多項式的根未必是F上的不可分元。

可分擴域

設K是域F的代數擴域，如果任一 都是F 上可分元，則稱K是F的可分擴域。否則，稱K 是F的不可分擴域，如果任一 而 ，都是F上不可分元，則稱K是F的純不可分擴域。

易見：域F 是完全域

中任一不可約多項式都無重根

F上任一代數元都是可分元

F的任一代數擴域都是可分擴域

定理1 域F的任一有限次可分擴域E必是單代數擴域。

定理2設 ， 是F上的可分元，則E上的任一可分元 必是F上的可分元，特別，E必是F的可分擴域。

定理3 設 是三個域，可證明

(1) 若K/F是可分擴域，則K/E和E/F都是可分擴域；

(2) 若K/E和E/F都是可分擴域，則K/F必是可分擴域。