基本介紹
- 中文名：篩法求素數
- 相關概念：素數
- 類型：算法
- 實現語言：C語言等
基本思想,各語言實現,
基本思想
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1不是素數，去掉。剩下的數中2最小，是素數，去掉2的倍數，餘下的數是：
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
剩下的數中3最小，是素數，去掉3的倍數，如此下去直到所有的數都被篩完，求出的素數為：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
各語言實現
C++實現
1、算法一：令A為素數，則A*N（N>1;N為自然數）都不是素數。
#define range 2000bool IsPrime[range+1];/*set函式確定i是否為素數，結果儲存在IsPrime[i]中，此函式在DEV C++中測試通過*/void set(bool IsPrime[]){ int i,j; for(i=0;i<=range;++i) IsPrime[i]=true; IsPrime[0]=IsPrime[1]=false; for(i=2;i<=range;++i) { if(IsPrime[i]) { for(j=2*i;j<=range;j+=i) IsPrime[j]=false; } }}2、
說明：解決這個問題的訣竅是如何安排刪除的次序，使得每一個非質數都只被刪除一次。 中學時學過一個因式分解定理，他說任何一個非質（合）數都可以分解成質數的連乘積。例如，16=2^4，18=2 * 3^2，691488=2^5 * 3^2 * 7^4等。如果把因式分解中最小質數寫在最左邊，有16=2^4，18=2*9,691488=2^5 * 21609,；換句話說，把合數N寫成N=p^k * q，此時q當然是大於p的，因為p是因式分解中最小的質數。由於因式分解，任何一個合數N，寫成N=p^k * q;的方式。 由於q>=p的關係，因此在刪除非質數時，如果已知p是質數，可以先刪除p^2,p^3,p^4,... ，再刪除pq,p^2*q,p^3*q,...,（q是比p大而沒有被刪除的數），一直到pq>N為止。
因為每個非質數都只被刪除一次，可想而知，這個程式的速度一定相當快。依據Gries與Misra的文章，線性的時間，也就是與N成正比的時間就足夠了（此時要找出2N的質數）。 （摘自《C語言名題精選百則（技巧篇）》，冼鏡光 編著，機械工業出版社，2005年7月第一版第一次印刷）。代碼如下：
#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main(){ int N; cin>>N; int *Location=new int[N+1]; for(int i=0;i!=N+1;++i) Location[i]=i; Location[1]=0; //篩除部分 int p,q,end; end=sqrt((double)N)+1; for(p=2;p!=end;++p) { if(Location[p]) { for(q=p;p*q<=N;++q) { for(int k=p*q;k<=N;k*=p) Location[k]=0; } } } int m=0; for(int i=1;i!=N+1;++i) { if(Location[i]!=0) { cout<<Location[i]<<" "; ++m; } if(m%10==0) cout<<endl; } cout<<endl<<m<<endl; return 0;}該代碼在Visual Studio 2010 環境下測試通過。
以上兩種算法在小數據下速度幾乎相同。
pascal實現:
maxfactor:=trunc(sqrt(maxp));//篩法求素數fillchar(sieve,sizeof(sieve),true);for i:=2 to maxfactor doif sieve[i] thenbeginnewp:=i+i;while newp<=maxp dobeginsieve[newp]:=false;newp:=newp+i;//每次取出這個數的倍數end;end;
C++實現:
#include <iostream>using namespace std;void FilterPrime(int n){ bool* isPrimes = new bool[n+1]; for(int i=2;i<=n;++i) { isPrimes[i] = true; } isPrimes[2] = true; isPrimes[1] = isPrimes[0] = false; for(int j=2;j<=n;++j) { if(isPrimes[j]==true) { for(int m=2;j*m<=n;++m) { isPrimes[j*m] = false; } } } for(int k=2;k<=n;++k) { if(isPrimes[k]==true) { cout<<k<<"是素數"<<endl; } } delete [] isPrimes;}int main(){ int num; cin>>num; FilterPrime(num); system("pause"); return 0;}Python 3 實現:
import mathMAX_INT = 2000000marks_bool = [True] * (MAX_INT + 1)for i in range(2,int(math.sqrt(MAX_INT)) + 1): j = i k = j while j * k <= MAX_INT: marks_bool[j * k] = False k += 1sum_int = 0for i in range(2,MAX_INT + 1): if marks_bool[i] is True: sum_int += 1print(sum_int)
