算術化(arithmetization)亦稱哥德爾編碼技巧.一種證明方法。它是美籍奧地利數學家哥德爾( K.Godel )在證明不完備性定理時首先明確使用的。
基本介紹
- 中文名：算術化
- 外文名：arithmetization
- 別名：哥德爾編碼
- 學科：數理科學
- 首次使用者：哥德爾( K.Godel )
算術化（哥德爾編碼）,唯一性的缺乏,形式系統套用,
算術化（哥德爾編碼）
為了編碼是符號序列的整個公式，哥德爾使用了如下系統。給出正整數的序列
，哥德爾對這個序列的編碼是第n個素數自乘這個序列中對應值的次數：
依據算術基本定理，用這種方式獲得的任何數都可以唯一的因數分解到素因子，所以可以有效的從其哥德爾數恢復最初的序列。
哥德爾特別的在兩個級別使用這個方案：首先編碼表示公式的序列，其次編碼表示證明的序列。這允許他證明在關於自然數的命題和關於自然數的定理的可證明性的命題之間的對應，這個證明的關鍵觀察。
有更複雜的(但更“簡潔”)的方式來構造序列的哥德爾數。
唯一性的缺乏
哥德爾編號不是唯一的。一般性的想法是把公式映射自然數上。假設有K個基本符號。可替代的哥德爾編碼可以通過把每個基本符號映射到基數為K的記數系統的一個數字來構造，這樣由n個符號的字母串構成的公式 
將被映射成數
換句話說，藉由將K個基本符號以某種固定順序擺放，那么每個方程式就會產生唯一對應的哥德爾數。但是如果將K個基本符號以另一種固定順序擺放，則會產生另一種哥德爾編號。
形式系統套用
還有，哥德爾編號蘊涵了形式系統的每個推論規則都可以被表達為自然數的函式。如果f是哥德爾映射並且如果公式C可以推導自公式A和B，通過推論規則r，就是說
接著，因為這個形式系統是形式算術的，它能做關於數和它們相互的算術聯繫的陳述，可以得出這個系統也可以通過哥德爾編號的方式，間接的做關於自身的陳述：就是說，形式系統的一個命題可以做出斷言，在從哥德爾映射的角度查看的時候，能轉換成關於同一個形式系統的其他命題，甚至是自身的斷言。所以，通過這種方式一個形式算術可以做關於自身的斷言，而成為自引用的，就像二階邏輯。這提供給哥德爾(和其他邏輯學家)一種探索和發現關於形式系統的一致性和完備性性質的一種方法。
