笛卡兒卵形線

笛卡兒卵形線(Cartesian oval)，數學專業術語，是一種典型的卵形線，它一般是一種四次曲線。假定P點與二定點F1與F2的距離分別為r1與r2，它們滿足方程：m*r1+n*r2=d，其中，m、n、d都是常數，則稱P點的軌跡為笛卡兒卵形線。當m=n時，為橢圓。

典型的卵形線處理笛卡兒卵形線外，還有卡西尼卵形線等。

基本介紹

• 中文名：笛卡兒卵形線
• 外文名：Cartesian oval
• 領域：數學
• 屬性：卵形線
• 性質：一般為四次曲線
• 其他卵形線：卡西尼卵形線等

概念

給定兩定點F 、F'，假定P點與F、F'的距離分別為r1與r2，若滿足方程：m*r1+n*r2=d，其中，m、n、d都是常數，則稱P點的軌跡為笛卡爾卵形線。當m=n時，為橢圓。在一般情況下，笛卡兒卵形線是四次曲線，它包括兩個沒有共同點的閉曲線，而且一個在另一個之內。在內的一個類似於橢圓，在外的一個可能是凸的，也可能有拐點(如圖1所示)。

圖1

光學性質

笛卡兒(Descartes , R. )在《折光》里討論了這個曲線和它的折光性質，他成功地解決了什麼樣的曲面作為兩種介質的交界面時，能使從第一種介質內一點發出的光線射到曲面上，折入第二種介質而聚於一點。他發現具有這個性質的旋轉面是由笛卡兒卵形線產生的。

選取適當的m、n值，可使通過點A的光線經折射後，全部通過點B。笛卡爾曾利用這個光學性質，選取笛卡兒卵形線作為透鏡的截面形狀，用來消除球面像差。

卡西尼卵形線

設A，B是平面內兩個定點，AB=2c（c是定長），平面內滿足MA*MB=a^2(a是定長）的點M的軌跡稱為卡西尼卵形線。卡西尼卵形線是由天文學家喬凡尼卡西尼提出的。其直角坐標方程為：

（1）當a=c時，卡西尼卵形線是雙紐線；

（2）當a<c時，卡西尼卵形線是兩支曲線，隨著a值減小，分別向A、B收縮；

（3）當a>c時，不自交。

笛卡兒卵形線的繪製方法

用matlab

示例：

clear;clc

f=@(x,y,z)(x.^2 + (9/4)*y.^2 + z.^2 - 1).^3 - x.^2.*z.^3 - (9/80)*y.^2.*z.^3;

gd=80;

x=linspace(-3,3,gd);

y=linspace(-3,3,gd);

z=linspace(-3,3,gd);

[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);val=f(x,y,z);

[f,v]=isosurface(x,y,z,val,0);

newplot;

p=patch('Faces',f,'Vertices',v,'CData',v(:,3),'facecolor','w','EdgeColor','flat');

h=isonormals(x,y,z,val,p);view(3);set(p,'AmbientStrength',.5);grid on

用Why數學圖像生成工具

示例如下，結果如圖3所示。

圖3

pixels = W:1024 H:1024

x = from 0 to 1023 W

y = from 0 to 1023 H

a = 256

b = 512

c = 768

d = 512

u = sqrt((x - a)*(x - a) + (y - b)*(y - b))

v = sqrt((x - c)*(x - c) + (y - d)*(y - d))

m = 0.5

n =0.3

k = m*u + n*v

r = mod(k, 16)/16

g = mod(k, 32)/32

b = mod(k, 48)/48