空間角度（Space angle），把立體幾何學的異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角，統稱為空間角度。
基本介紹
- 中文名：空間角度
- 外文名：Space angle
- 直角：異面直線所成角
- 範圍：（0，π/2].
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異面直線所成角
定義
過空間一點，作分別平行於兩條異面直線的相交直線所成的銳角或
直角，叫異面直線所成角。
範圍
異面直線所成角的範圍是（0，π/2].
求法
（1）定義法
也叫平移法。按照異面直線所成角的定義，平移一條直線或平移兩條直線。轉化成相交直線所成角來求。然後，解三角形求角。
（2）向量法
直線與平面所成的角
定義
當直線是平面的斜線（相交但不垂直）時，斜線與其在平面的射影的夾角，叫直線與平面所成的角。
規定：當直線在平面內或直線與平面平行時，直線與平面所成角為0°；當直線與平面垂直時，直線與平面所成角為90°.
範圍
直線與平面所成角的範圍是[0，π/2].
求法
（1）定義法
按照直線與平面所成角的定義。一般通過面的垂線，確定斜線射影。轉化成斜線與射影的夾角。然後，解三角形求角。
（2）法向量法
1°轉化成平面的法向量，與斜線的方向向量所成角的餘角，或補角的餘角。即用公式
sin<向量n，向量b>=|n·b|/|n||b|.
2°轉化成斜線的方向向量, 與斜線射影方向向量所成角，或補角。即用公式
cos<向量a，向量a′>=(a·a′)/|a|| a′|.
平面與平面所成的角
平面與平面所成的角，是用二面角來描述的。
定義
（1）一條直線把平面分成兩部分，每部分叫半平面。
（2）從一條直線出發的兩個半平面組成的圖形叫二面角。
這條直線叫二面角的棱，兩個半平面叫二面角的面。
（3）垂直於棱的平面，與二面角的兩個面相交，得兩條射線，這兩條射線所成的角，叫二面角的平面角。
（4）二面角的度量
二面角的大小，用平面角來度量。平面角為55°，則稱二面角為55°。反之亦然。
（5）平面與平面所成的角
如果把二面角的兩個面延展成兩個平面，那么兩個平面相交的唯一的交線就是二面角的棱。這時二面角的平面角或其補角的大小，是平面與平面所成的角的大小。
範圍
二面角的範圍是[0，π]。
求法
（1）三垂線法
用三垂線定理或逆定理，得兩條垂直於棱的直線。從而得平面角。然後解三角形求角。
此法使用頻率最高。
（2）垂面法
也叫定義法。在棱上選一特殊點，過這點作棱的垂面，得平面角。然後解三角形求角。 （3）垂線法
在棱上選一特殊點，過這點在兩個面內分別作棱的垂線，得平面角。然後解三角形求角。當棱為兩個等腰三角形公共邊時，如求正稜錐側面與底面所成角時，常用此法。
（4）射影面積法
設平面角為θ，則cosθ=S′/S
（5）向量法
轉化成二面角的兩個面的法向量所成角或其補角。即用公式
cos<向量n1，向量n2>=(n1·n2)/|n1||n2|.
補充說明
1.空間角的定義體現了空間問題平面化的數學思想。把空間的角轉化為相交直線（如異面直線所成角、直線與平面所成角）或兩條射線（如二面角的平面角）所成角。
2.空間角的概念，是立體幾何計算題的證明要點。當用傳統的演繹推理法求上述角時，必須詳盡寫明所作的輔助直線、輔助平面；必須按照空間角的定義進行證明。然後計算。然而，用解析法和向量法沒有上述要求。
3. 空間的角包括平面幾何的相交直線所成的角、平行直線所成的角。
定義
（1）一條直線把平面分成兩部分，每部分叫半平面。
（2）從一條直線出發的兩個半平面組成的圖形叫二面角。
這條直線叫二面角的棱，兩個半平面叫二面角的面。
（3）垂直於棱的平面，與二面角的兩個面相交，得兩條射線，這兩條射線所成的角，叫二面角的平面角。
（4）二面角的度量
二面角的大小，用平面角來度量。平面角為55°，則稱二面角為55°。反之亦然。
（5）平面與平面所成的角
如果把二面角的兩個面延展成兩個平面，那么兩個平面相交的唯一的交線就是二面角的棱。這時二面角的平面角或其補角的大小，是平面與平面所成的角的大小。
性質
1.空間角的定義體現了空間問題平面化的數學思想。把空間的角轉化為相交直線（如異面直線所成角、直線與平面所成角）或兩條射線（如二面角的平面角）所成角。
2.空間角的概念，是立體幾何計算題的證明要點。當用傳統的演繹推理法求上述角時，必須詳盡寫明所作的輔助直線、輔助平面；必須按照空間角的定義進行證明。然後計算。然而，用解析法和向量法沒有上述要求。
3. 空間的角包括平面幾何的相交直線所成的角、平行直線所成的角。
套用
（1）三垂線法
用三垂線定理或逆定理，得兩條垂直於棱的直線。從而得平面角。然後解三角形求角。
此法使用頻率最高。
（2）垂面法
也叫定義法。在棱上選一特殊點，過這點作棱的垂面，得平面角。然後解三角形求角。 （3）垂線法
在棱上選一特殊點，過這點在兩個面內分別作棱的垂線，得平面角。然後解三角形求角。當棱為兩個等腰三角形公共邊時，如求正稜錐側面與底面所成角時，常用此法。
（4）射影面積法
設平面角為θ，則cosθ=S′/S
（5）向量法
轉化成二面角的兩個面的法向量所成角或其補角。即用公式
cos<向量n1，向量n2>=(n1·n2)/|n1||n2|.
