二重積分(積分估值定理)

二重積分

積分估值定理一般指本詞條

二重積分是二元函式在空間上的積分,同定積分類似,是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的套用,可以用來計算曲面的面積,平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的(有向)曲面上進行積分,稱為曲面積分。

基本介紹

  • 中文名:二重積分
  • 外文名:double integral
  • 性質:數學術語
  • 計算方法:化為二次積分
  • 本質:曲頂柱體體積
  • 套用學科:數學
定義,性質,意義,幾何意義,數值意義,直角坐標系中,X型區域,Y型區域,在極坐標中,

定義

二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域D上,將區域D任意分成n個子域
,並以
表示第
個子域的面積。在
上任取一點
作和
。如果當各個子域的直徑中的最大值
趨於零時,此和式的極限存在,且該極限值與區域D的分法及
的取法無關,則稱此極限為函式
在區域
上的二重積分,記為
,即
這時,稱
上可積,其中
稱被積函式,
稱為被積表達式,
稱為面積元素,
稱為積分區域,
稱為二重積分號。
同時二重積分有著廣泛的套用,可以用來計算曲面的面積,平面薄片重心,平面薄片轉動慣量,平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活,比如無線電中也被廣泛套用。

性質

積分的線性性質
性質1 (積分可加性) 函式和(差)的二重積分等於各函式二重積分的和(差),即
性質2 (積分滿足數乘) 被積函式的常係數因子可以提到積分號外,即
(k為常數)
比較性
性質3 如果在區域D上有f(x,y)≦g(x,y),則
估值性
性質4 設M和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域D上的最大值和最小值,σ為區域D的面積,
性質5 如果在有界閉區域D上f(x,y)=k(k為常數),σ為D的面積,則Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重積分中值定理
設函式f(x,y)在有界閉區域D上連續,σ為區域的面積,則在D上至少存在一點(ξ,η),使得

意義

當被積函式大於零時,二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時,二重積分是柱體體積負值。

幾何意義

空間直角坐標系中,二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f(x,y)的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知,可以用二重積分的幾何意義的來計算。
例如二重積分
,其中
,表示的是以上半球面為頂,半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體,這個二重積分即為半球體的體積

數值意義

二重積分和定積分一樣不是函式,而是一個數值。因此若一個連續函式f(x,y)內含有二重積分,對它進行二次積分,這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
如函式
,其積分區域D是由
所圍成的區域。
其中二重積分是一個常數,不妨設它為A。對等式兩端對D這個積分區域作二重定積分。
故這個函式的具體表達式為:f(x,y)=xy+1/8,等式的右邊就是二重積分數值為A,而等式最左邊根據性質5,可化為常數A乘上積分區域的面積1/3,將含有二重積分的等式可化為未知數A來求解。

直角坐標系中

當f(x,y)在區域D上可積時,其積分值與分割方法無關,可選用平行於坐標軸的兩組直線來分割D,這時每個小區域的面積Δσ=Δx·Δy,因此在直角坐標系下,面積元素dσ=dxdy,從而二重積分可以表示為
由此可以看出二重積分的值是被積函式和積分區域共同確定的。將上述二重積分化成兩次定積分的計算,稱之為:化二重積分為二次積分累次積分

X型區域

設積分區域是由兩條直線x=a,x=b(a<b),兩條曲線
圍成。可以表示
的區域稱為X型區域,如圖。
X型區域X型區域
特點:穿過D內部且平行於y軸的直線,與D的邊界交點數不多於兩點。
如左圖,對任意取定的x0∈[a,b],過點(x0,0,0)作垂直於x軸的平面x=x0,該平面與曲頂柱體相交所得截面是以區間
為底,z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形,由於x0的任意性,這一截面的面積為
,其中y是積分變數在積分過程中視x為常數。上述曲頂柱體可看成平行截面面積S(x)從a到b求定積分的體積,從而得到:

Y型區域

積分區域
稱為Y型區域。
Y型區域Y型區域
特點:穿過D內部且平行於x軸的直線,與D的邊界交點數不多於兩點。
稱D為Y型區域,此時可採用先對x,後對y積分的積分次序,將二重定積分化為累次積分:

在極坐標中

有許多二重積分僅僅依靠直角坐標下化為累次積分的方法難以達到簡化和求解的目的。當積分區域為圓域,環域,扇域等,或被積函式為
等形式時,採用極坐標會更方便。
在直角坐標系xOy中,取原點為極坐標的極點,取正x軸為極軸,則點P的直角坐標系(x,y)與極坐標軸(r,θ)之間有關係式:
在極坐標系下計算二重積分,需將被積函式f(x,y),積分區域D以及面積元素dσ都用極坐標表示。函式f(x,y)的極坐標形式為f(rcosθ,rsinθ)。為得到極坐標下的面積元素dσ的轉換,用坐標曲線網去分割D,即用以r=a,即O為圓心r為半徑的圓和以θ=b,O為起點的射線去無窮分割D,設Δσ就是r到r+dr和從θ到θ+dθ的小區域,其面積為
,可得到二重積分在極坐標下的表達式:

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