這是一類經典的問題，具有一定的趣味性、廣泛性和關注度。能完成目標任務的做法很多，各有千秋。分析、思考、處理的手法也不盡相同，具體做法至少有下面這些。
基本介紹
- 中文名：稱球問題
- 小球個數：12個小球
- 特點：具有一定趣味性、廣泛性和關注度
- 性質：問題
簡介,動態稱法,固定稱法,判斷依據,數學表達,思路分析,拓展,
簡介
有編號為⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿的小球，其中有11個小球的重量相同，只有一個小球的重量和其它不一樣，使用一個無砝碼的天平稱3次，問怎樣稱能把該球找出來，並說出該球較其它球重還是輕。
動態稱法
此做法是最常見的處理手法，在各種答案中下表所列是其中的一種表述，對號入座即可：
第一次稱球情況 | 第二次稱球情況 | 第三次稱球情況 | 結論 | |||
首先 左⑴⑵⑶⑷：右⑸⑹⑺⑻ | 若左重 | 其次 左⑴⑸⑼：右⑵⑶⑹ | 若左重 | 最後 左⑷：右⑴ | 若平衡 | 則⑹輕 |
若右重 | 則⑴重 | |||||
若平衡 | 最後 左⑷⑻：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑷重 | |||
若平衡 | 則⑺輕 | |||||
若右重 | 則⑻輕 | |||||
若右重 | 最後 左⑷⑻：右⑵⑸ | 若左重 | 則⑸輕 | |||
若平衡 | 則⑶重 | |||||
若右重 | 則⑵重 | |||||
若平衡 | 其次 左⑼⑾：右⑵⑽ | 若左重 | 最後 左⑼⑽：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑼重 | |
若平衡 | 則⑾重 | |||||
若右重 | 則⑽輕 | |||||
若平衡 | 最後 左⑷：右⑿ | 若左重 | 則⑿輕 | |||
若右重 | 則⑿重 | |||||
若右重 | 最後 左⑼⑽：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑽重 | |||
若平衡 | 則⑾輕 | |||||
若右重 | 則⑼輕 | |||||
若右重 | 其次 左⑴⑸⑼：右⑵⑶⑹ | 若左重 | 最後 左⑻⑼：右⑵⑸ | 若左重 | 則⑵輕 | |
若平衡 | 則⑶輕 | |||||
若右重 | 則⑸重 | |||||
若平衡 | 最後 左⑷⑻：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑻重 | |||
若平衡 | 則⑺重 | |||||
若右重 | 則⑷輕 | |||||
若右重 | 最後 左⑷：右⑴ | 若左重 | 則⑴輕 | |||
若平衡 | 則⑹重 | |||||
判斷依據見後。
固定稱法
其實上面動態稱法的方案就是專為本固定稱法方案量身定做的。但本固定稱法的判斷並不依賴動態稱法，可獨立做出判斷。如圖1所示，上表經整理後版面簡潔得多，判斷依據見後。
圖1 固定稱法
判斷依據
這是動態稱法與固定稱法共用的判斷依據。
首先我們可以在草稿紙上寫出所有嫌疑球號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，下列各情況相互獨立，互不影響。三次稱球，根據天平依次呈現的狀態來對號入座。
若左重、左重、右重，為什麼判定是1號球重？
- 第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次左重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
- 第一、二次均左重，劃掉2、3、5，剩下1、6可疑
- 第三次右重，劃掉6，僅剩1，可判定重
- 同理，若左輕、左輕、右輕，判定是1號球輕；
若左重、右重、右重，為什麼判定是2號球重？
- 第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次右重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
- 第三次右重，劃掉3、6，剩下1、2、5可疑
- 第二、三次均右重，劃掉1、5，僅剩2，可判定重
- 同理，若左輕、右輕、右輕，判定是2號球輕；
若左重、右重、平衡，為什麼判定是3號球重？
- 第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次右重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
- 第三次平衡，劃掉1、2、5，剩下3、6可疑
- 第一、二次分別左右重，劃掉6，僅剩3，可判定重
- 同理，若左輕、右輕、平衡，判定是3號球輕；
若左重、平衡、左重，為什麼判定是4號球重？
- 第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次平衡，劃掉1、2、3、5、6，剩下4、7、8可疑
- 第三次左重，劃掉7，剩下4、8可疑
- 第一、三次均左重，劃掉8，僅剩4，可判定重
- 同理，若左輕、平衡、左輕，判定是4號球輕；
若右重、左重、右重，為什麼判定是5號球重？
- 第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次左重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
- 第三次右重，劃掉3、6，剩下1、2、5可疑
- 第一、三次均右重，劃掉1、2，僅剩5，可判定重
- 同理，若右輕、左輕、右輕，判定是5號球輕；
若右重、右重、平衡，為什麼判定是6號球重？
- 第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次右重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
- 第三次平衡，劃掉1、2、5，剩下3、6可疑
- 第一、二次均右重，劃掉3，僅剩6，可判定重
- 同理，若右輕、右輕、平衡，判定是6號球輕；
若右重、平衡、平衡，為什麼判定是7號球重？
- 第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次平衡，劃掉1、2、3、5、6，剩下4、7、8可疑
- 第三次平衡，劃掉4、8，僅剩7，可判定重
- 同理，若右輕、平衡、平衡，判定是7號球輕；
若右重、平衡、左重，為什麼判定是8號球重？
- 第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
- 第二次平衡，劃掉1、2、3、5、6，剩下4、7、8可疑
- 第三次左重，劃掉7，剩下4、8可疑
- 第一、三次分別左右重，劃掉4，僅剩8，可判定重
- 同理，若右輕、平衡、左輕，判定是8號球輕；
若平衡、左重、左重，為什麼判定是9號球重？
- 第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
- 第二次左重，劃掉12，剩下9、10、11可疑
- 第三次左重，劃掉11，剩下9、10可疑
- 第二、三次均左重，劃掉10，僅剩9，可判定重
- 同理，若平衡、左輕、左輕，判定是9號球輕；
若平衡、右重、左重，為什麼判定是10號球重？
- 第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
- 第二次右重，劃掉12，剩下9、10、11可疑
- 第三次左重，劃掉11，剩下9、10可疑
- 第二、三次次分別左右重，劃掉9，僅剩10，可判定重
- 同理，若平衡、右輕、左輕，判定是10號球輕；
若平衡、左重、平衡，為什麼判定是11號球重？
- 第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
- 第二次左重，劃掉12，剩下9、10、11可疑
- 第三次平衡，劃掉9、10，僅剩11，可判定重
- 同理，若平衡、左輕、平衡，判定是11號球輕；
若平衡、平衡、右重，為什麼判定是12號球重？
- 第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
- 第二次平衡，劃掉9、10、11，僅剩12
- 第三次右重，可判定重
- 同理，若平衡、平衡、右輕，判定是12號球輕。
經此表述將會發現，其實根本無需背誦，只需記住圖中固定稱球方案，即可臨機做出判定。
數學表達
將固定稱法用矩陣方程寫出來思路會更清晰：
其中：
方程的含義為天平稱球的描述：左盤總重量減右盤總重量=差值
首先：在12個球中，只有1個球與其它球重量不一樣，在邏輯上使用±1來代表重量差
思路分析
根據方程的含義，上述數學表達是明確的，
是方程的核心，現簡要闡述係數矩陣的一些特徵。
只要同時滿足下列4個條件的 就是我們要尋找的係數矩陣。
1、
的所有分量求和=0，即任意一次稱球，天平兩端的球的個數相同；
3、
，任意兩個列向量不相等；
4、
，任意一個列向量與其它列向量的負向量不相等。
條件3、條件4是保證根據 做出無歧義判斷的關鍵。同時滿足這4個條件的係數矩陣有很多，但只要找到一個，就可寫出數學表達方程式，也可以反演出固定稱法，進而可反寫出動態稱法。
縱觀全局，三個方案在表達方式上差別很大，但他們的本質卻是同一個答案。動態稱法直觀，但表達繁瑣，思路顯得凌亂；固定稱法簡潔明了，但理解上需要一定精力；經過解釋的數學表達思路明確，較容易抓住主線。
拓展
對於這一類稱球問題，歸納為使用天平
次，採取固定稱法可在
個球中找出1個重量不一樣的球，並說出較其它球輕還是重。如果僅要求找出問題球，則可改為在
球中辨別出1個問題球。
