碾轉相除法

輾轉相除法 輾轉相除法, 又名歐幾里德算法（Euclidean algorithm）乃求兩個正整數之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。它首次出現於歐幾里德的《幾何原本》（第VII卷，命題i和ii）中，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。它並不需要把二數作質因子分解。

基本介紹

• 中文名：碾轉相除法
• 外文名：Euclidean algorithm
• 又名：歐幾里德算法
• 首次出現：《幾何原本》

證明：

設兩數為a、b(b<a)，求它們最大公約數(a、b)的步驟如下：用b除a，得a=bq......r 1(0≤r)。若r1=0，則(a，b)=b；若r1≠0，則再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，則(a，b)=r1，若r2≠0，則繼續用r2除r1,……如此下去，直到能整除為止。其最後一個非零餘數即為(a，b)。

[編輯] 算法

輾轉相除法是利用以下性質來確定兩個正整數 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的餘數, 則

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍數之最大公因子為 a。